EL FUTURO DE LA COMPUTACIÓN. NO MUY LEJANO

El Futuro de la Computación
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PIZZARA DIGITAL INTERACTIVA

ENLACES DE INTERNET

■Enlaces
Componente de informática educativa del Programa MECE del Ministerio de Educación de Chile.

■Red Latinoamericana de Portales Educativos - RELPE
RELPE es una red de portales educativos -autónomos, nacionales, de servicio público y gratuitos.

■TechKnowLogia
Enlace a International Online Journal of Technologies for the Advancement of Knowledge and Learning, publicado por Knowledge Enterprise, Inc., en colaboración con UNESCO, OECD y GIIC. (En inglés solamente)

■Techlearning
Ideas, instrumentos y fuentes de información para integrar la tecnología en las diferentes áreas de la educación primaria.

■Fostering the Use of Educational Technology: Elements of a National Strategy
By Thomas K. Glennan and Arthur Melmed. Published by Rand Corporation, this is a highly regarded 1996 study of schools considered in the forefront in the use of the Internet, and technology in general, in the United States.

MATEMATICA EN LA RED

Sector Matemática - El Portal de las Matemáticas
Autor de la Aplicación: Danny José Perich Campana
Dirección: http://www.sectormatematica.cl
Introducción
La página Web que me dispongo a reseñar es tan proficua que me invade una cierta dosis de cobardía. No podía ser de otra manera ya que también es vasto y diverso el perfil de su autor y WebMaster, Danny Perich, nacido en 1954 en Punta Arenas (Chile), donde ha realizado la mayoría de sus múltiples actividades: Profesor en Matemática en Enseñanza Media, Pre-universitaria y Universitaria; Informática Aplicada a la Educación; atletismo; fútbol; director y asesor en tareas comunitarias juveniles; autor, compositor e intérprete, actividad esta que comparte con su esposa y sus tres hijos varones. En todas ha sido merecedor de algún premio o distinción pero, lo que no pasa desapercibido en esta página, es su pasión por la Matemática y su Enseñanza, disciplinas que unen a todos los lectores de esta Revista.

Enseñan Matemáticas con la computadora

Las funciones matemáticas constituyen una de las operaciones más complejas de enseñar en cátedras de esta materia. Explorando esa área, investigadores de Ciencias Exactas de la UNNE lograron importantes mejoras en la enseñanza de dichas funciones al enseñarlas en escuelas EBG y Polimodal mediante programas y juegos de computación. Se comprobó que los estudiantes alcanzan un mayor análisis matemático respecto a la metodología de enseñanza tradicional. Remarcan la viabilidad de instrumentar esta iniciativa a todo el sistema educativo.
En el campo de la investigación didáctica se admite, desde hace varias décadas, la necesidad de utilizar los programas de computadora de todo tipo en la enseñanza de las ciencias, por las indudables ventajas pedagógicas que se han ido poniendo de manifiesto en
múltiples trabajos de divulgación e investigación realizados en los países más avanzados.
Pero en Corrientes, en general la enseñanza de Informática no se hace en forma aplicada a otras materias. Fue así que surgió el proyecto de las investigadoras Raquel Petris, María López y Silvia Pelozo, del Departamento de Informática de la Facultad de Ciencias Exactas.
Según relata la licenciada Petris, desde hace varios años los alumnos adquieren conocimientos notorios de computación durante al enseñanza primaria, por lo que al llegar al EGB 3 o Polimodal se hace necesario la instrumentación de aplicaciones concretas de tales conocimientos.
Mediante este proyecto, se empezó a aplicar en algunas escuelas la enseñanza de las denominadas "funciones matemáticas" a través de la enseñanza asistida por computadora que consiste en la utilización de programas específicos diseñados para instruir y orientar al alumno.
Se concretaron experiencias con grupos en algunas escuelas y en otras instituciones se capacitó a docentes de matemática e informática para que apliquen esta metodología de enseñanza.
Las diferentes propuestas de actividades para la enseñanza-aprendizaje del tema "funciones matemáticas" en los niveles EGB 3 y Polimodal, se hicieron usando como apoyo el software Advanced Grapher.
Las actividades fueron juegos que suponían una puesta a prueba de conocimientos y de modelos que tienen los alumnos y que se van generando con la ayuda del profesor. En el caso concreto de este proyecto, se implementaron juegos tradicionales como "La Casita Robada" o "El Juego de la Oca", en los que para jugar había que resolver las funciones matemáticas en la computadora.
"Es una buena forma de llevar a la práctica la teoría que enseñan los profesores" explicó Petris al señalar que primero los docentes explicar teóricamente las funciones y luego se practican mediante de juegos interactivos en la PC. Por último nuevamente se discuten resultados en el aula. "Es la interacción entre las horas de Matemática y las de Computación".
La profesional manifestó que a través de esta metodología se alcanza un mayor grado de análisis matemático, ya que al ser la computadora la que obtiene los resultados, al alumno se le exige que analice los resultados, y que discutan los que implican los resultados logrados.
"El concepto de función pasa de un estado abstracto a una situación "real" visualizada en la pantalla" expresó María López, otra integrante del grupo investigador.
El software Advanced Grapher es una aplicación informática que permite a los alumnos trazar diferentes tipos de gráficas, de una amplia variedad de ecuaciones y tablas, de un modo sencillo. Sólo se debe proporcionar la ecuación, o bien, introducir una tabla de valores y el programa lo graficará, logrando representaciones de alta calidad y posibilitando copiarlas a los documentos como si se tratase de una imagen, e imprimirlas.
Esta herramienta posee las ventajas de agilidad y rapidez en el diseño; requerimientos mínimos de hardware y no requiere conocimientos especializados sobre el uso de la computadora ni de otras herramientas computacionales.

Resultados. De acuerdo a las investigadoras, con este "atractivo" programa, se consiguió que los alumnos experimenten con operaciones matemáticas que habitualmente no les atraen, tal el caso de análisis de regresión, obtención de ceros y extremos de funciones, intersecciones, derivadas, ecuaciones tangentes y normales, integración numérica, tabla de valores, calculadora.
"Son muchos los resultados que se observaron" dijo Petris, y destacó que a través del juego y ejercicios innovadores -utilizando el software Advanced Grapher- fue posible mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las "funciones matemáticas" en EGB 3 y Polimodal.
Por otra parte, el efecto positivo y motivador observado en los alumnos, que proporciona el desplazarse de las expresiones matemáticas que se formulan con lápiz y papel a las que se plantean en la pantalla, convierte al software Advanced Grapher en una herramienta idónea como recurso didáctico.
Las representaciones gráficas son más fáciles de construir haciendo uso del software, que con elementos físicos y posibilitan a los estudiantes razonar, mientras manipulan en la computadora gráficos dinámicos y expresiones matemáticas relacionadas con ellos.
Citó la adquisición destreza en establecer relaciones entre los diferentes de tipos de funciones (lineales, cuadráticas, trigonométricas, etc.) y su representación gráfica como otros logros específicos. También la interacción con el software en caso de requerirlo, evitando que un solo alumno tenga el manejo de la computadora todo el tiempo. Además, promueve y facilita explicaciones completas y precisas, ya que el estudiante debe especificarle al software con precisión lo que debe hacer para obtener resultados concretos.
"Los estudiantes cuando se aplican juegos se ven motivados a atender en forma permanente, no sólo cuando les corresponde su turno, sino que también deben controlar los resultados obtenidos por sus compañeros para evitar que hagan "trampa". Para descubrir esta trampa, debe el mismo aplicar la resolución de funciones" señala López.
En tal sentido, se observaron mejores resultados cuando se constituyeron parejas de alumnos que competían entre ellas, en vez de jugadores individuales.

Limitantes. Petris sostuvo que las experiencias realizadas chocaron en gran parte con la dificultad de modificar el sistema tradicional de enseñanza matemática, y lograr que se capaciten.
Otro inconveniente es la incompatibilidad horaria de los profesores de Matemática y Computación, que impide muchas veces que se puedan diagramar las clases.
También se dificulta la aplicación por la falta de infraestrucura y equipamientos, ya que todavía las escuelas no tienen un grado de computadoras suficientes.
No obstante, señaló Petris que sería viable y necesario llevar esta experiencia a todas las escuelas del sistema educativo, en virtud de la mejora que provoca en la instrucción de las
operaciones matemáticas.
"La computadora forma parte del modo de vida de los estudiantes, hay que romper el molde de la educación tradicional y aplicar la tecnología" señaló. Agregó que esta forma de prácticas se asemejan a los métodos de enseñanza que tendrán los estudiantes de llegar al
sistema universitario.

José Goretta

SECCIONES CÓNICAS

LABORATORIO DE MATEMATICAS

Objetivos del Laboratorio de matemáticas

El objetivo principal de un laboratorio de matemáticas es atender las necesidades de aprendizaje en los estudiantes utilizando diversos recursos incluyendo manipulativos, programados, tutoriales en línea y cualquier otro material de referencia. La práctica en laboratorio permite:

- Afianzar conocimientos matemáticos básicos aproximando al estudiante a experiencias de aprendizaje autónomo.

- Usar herramientas, como complemento a la enseñanza tradicional, que permitan al estudiante visualizar, relacionar y comprender mejor los conceptos abstractos.

- Propiciar la experiencia directa de los estudiantes manipulando objetos concretos que favorezcan el aprendizaje.

- Desarrollar el pensamiento matemático a través de actividades realizadas con diversos materiales auxiliares.

- Realizar procedimientos prácticos, entre ellos demostraciones y simulaciones, que refuercen y ayuden a comprender las destrezas matemáticas.

- Propiciar el trabajo en equipo por la naturaleza de las actividades de práctica.

Materiales básicos en el laboratorio de matemáticas

- Manipulativos diversos - figuras y sólidos geométricos, tableros con piezas poligonales, etc.

- Calculadora básica, científica o graficador

- Juegos, aplicaciones matemáticas y programados (manejo de la computadora)

- Tutoriales en línea y otros recursos educativos virtuales (recursos de la Internet)

- Pizarra interactiva (digital)

- Láminas, fotos y muestras de video (recursos visuales)

- Transportador, regla, compás, pega y tijeras

- Papel de construcción

- Papel cuadriculado o de puntos

- Cuadernos con ejercicios de práctica
Metodología de enseñanza

- Demostraciones y presentaciones

- Simulaciones

- Talleres

- Trabajo cooperativo (en equipos)

- Tutoría
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¡Eurekatic! Física, química y nuevas tecnologías en educación

Física y química son dos materias complicadas. Al menos para aquellos que no tienen un especial interés en las ciencias exactas. Sin embargo, no deberían serlo. Toda nuestra vida está repleta de física y química: nuestros movimientos, los movimientos de los objetos, lo que comemos, lo que usamos… ¿cuántas veces nos hemos preguntado si "hay química"? Pero ¿nos hemos puesto a pensar de dónde viene esa pregunta? La idea es darle interactividad a la materia y ejemplos de la vida cotidiana. Una buena receta para un aprendizaje natural, y una manera atractiva de respondernos a nosostros mismos.


Empecemos con un simple ejemplo. La televisión, y no solo Discovery Channel, da pie al estudio y a la investigación a través de personajes muy cercanos a nuestros jóvenes. Si no, veamos los comentarios sobre Los Simpsons. El ingeniero y profesor de Física Claudio H. Sánchez busca referencias científicas cuando mira televisión, y las aplica. Dice lo que habitualmente decimos para entender por qué las nuevas tecnologías son una buena herramienta: "A cierta gente (podríamos decir a los alumnos) le va a interesar más si le hablás de Los Simpson que si le hablás secamente de Newton. Es como un chantaje que hago. Es como si dijera: 'Prestame atención que te voy a contar algo gracioso'."

En una entrevista, confirmó algunos de los temas tratados en la serie: el efecto Coriolis, termodinámica, el teorema de Fermat, etc. De hecho, la serie fue catalogada por la revista Nature como "uno de los mejores programas de divulgación científica de la televisión". Cuando le preguntaron por el personaje más científico contestó: “Lisa (…) En Italia la llaman ‘la piccola Mafalda’. Es un personaje inverosímil: una chica de ocho años que sabe de todo. Hay un episodio en el que se queda encerrada en un laberinto y dice: ‘Vamos a salir aplicando el algoritmo de Tremaux’. Tuve que buscar en internet qué era ese algoritmo para resolver laberintos. Interesante ¿no?”.

Según Sánchez, esta suerte de encontrar términos científicos en Los Simpsons se debe a que los guionistas son del palo (David Cohen es físico, Ken Keeler y J. Stewart Burns, matemáticos). Lo mismo sucede en la serie Futurama: (…) aparecen el principio de incertidumbre, el gato de Schrödinger, etc.

Es importante prestar atención a su comentario final: “No creo que se pueda aprender ciencia viendo únicamente dibujos. La idea es usar un tema no científico para ilustrar”. Y ahí es donde entramos nosotros, los docentes. Las nuevas tecnologías son una herramienta, un “otro modo”. Ver películas, hablar por celular, entrar en Google… por sí solos no bastan. Esas incursiones deben ser dirigidas. Complementan, suman, pero no pueden permanecer sin organización. El docente las integra para recrear escenarios más dinámicos, más cercanos a la geografía adolescente actual. Pero se sigue necesitando, por supuesto, el conocimiento tradicional.


Proyectos
Experimentar es un proyecto de la Secretaría de Planeamiento y Políticas del Ministerio de Ciencia, Tecnología e Innovación Productiva de la Argentina (MinCyT). “Las propuestas del portal apuntan a que los visitantes puedan desarrollar estrategias de pensamiento científico para explorar los fenómenos de la naturaleza, y a que disfruten investigando cómo funcionan las cosas.” Muchas solapas interesantes, como Física loca y Enchastre, y además podés hacerte miembro del club XP (si querés averiguar qué significa, tendrás que darte una vuelta por el sitio).


Laboratorio didáctico virtual es un proyecto que se incluye en la iniciativa de aplicación de las TIC para la enseñanza de Física a alumnos de la educación media. Actualmente está en fase piloto. “Utiliza el concepto de pedagogía de proyectos, según el cual los alumnos de las escuelas públicas usan computadoras como herramientas para el desarrollo de simulaciones interactivas de problemas de física (applets) y su colocación en internet”.

“En el proyecto Newton se desarrollan los temas de física a partir de simulaciones interactivas que permiten a los alumnos acercarse a conceptos complejos de forma intuitiva. Controlando las distintas variables se obtienen diferentes resultados, proponiendo al alumno que indague, reflexione, formule hipótesis y las contraste. Los materiales aparecen agrupados en unidades didácticas pero también por conceptos, cada uno ilustrado con una animación.” Asimismo, permite a los profesores crear animaciones interactivas (o modificar las ya existentes) para personalizar sus necesidades.

Del proyecto Arquímedes nos interesa la segunda etapa, ya que es la que se focaliza en la Física y la Química de 3º y 4º años de la educación secundaria.

Sitios

En la página de Carlos Palacios, podrás encontrar 37 lecciones para chicos de 12 a 18 años.

CentralScience Live es un sitio de aprendizaje interactivo de Química. Se selecciona un capítulo y se encontrarán con: problemas prácticos, herramientas y varias tareas útiles para la enseñanza de la materia.

En el sitio de Física, encontramos un curso virtual sobre Unidades y Medidas, Cinemática, Dinámica, Dinámica celeste, Sólido-Rígido, Oscilaciones, Movimiento ondulatorio, Fluidos, Fenómenos de transporte, Física estadística, Termodinámica, Electromagnetismo, Mecánica cuántica, etc.

Try science es un sitio con versión en español que juntó a 400 centros de ciencias de todo el planeta que te guían en la investigación y la experimentación a través de varias propuestas: muestras de diversos centros de ciencias interactivas, cuestionarios, imágenes en directo tomadas mediante cámaras web en centros de ciencias y tecnología de todo el mundo, etcétera.

En diverCiencia encontramos cantidad de ejercicios de laboratorio de ambas asignaturas. La distribución de los ejercicios se hizo en cuatro apartados: Química mágica, Química curiosa, Física sorprendente y Física recreativa.

Edenorchicos fue creado por la empresa de electriciad Edenor (de la Argentina) para los más pequeños. En el sitio encontramos experimentos, juegos y todo lo que nos gustaría saber sobre la electricidad.



En este sitio hay varias prácticas de laboratorio on line, y videos de cada una de ellas.

El sitio de Física re-creativa propone particularmente trabajar en proyectos de física usando las nuevas tecnologías. Por ejemplo, Experimentos de mecánica y metrología, Experimentos de electromagnetismo, Experimentos de termodinámica; Experimentos de óptica; Experimentos de física moderna, etcétera.

La página de ciencia para chicos y… no tan chicos brinda un laboratorio en el que podemos ver los experimentos on line; además propone otras actividades para las asignaturas científicas. Por ejemplo, en el apartado de Física, hay un laboratorio de sonidos.

Ciencianet es muy completo. Hay experimentos, anécdotas, curiosidades y mucha información.

Para los más pequeños, Curiosikid es puro juego. Los experimentos mismos son señalados como juegos.



Fisquiweb te propone gran variedad de laboratorios virtuales. Es un espacio dedicado a la enseñanza de la física y la química. Nació como página web del Departamento de Física y Química de un instituto secundario español, pero como creció vemos que emigró a Educastur (gracias a sus responsables por el apoyo y las facilidades dadas).

Ciencia fácil. ¿Querés ver videos de experimentos y de inventos? Este es el lugar correcto. Algunos de sus temas son: Cañón Químico, Indicador de PH, Ludion o Diablito de Descartes, Cohete con palito de fósforo, Volcán Químico, Huevo en la botella, etcétera.

“La física es, afortunadamente, simple. Los físicos no.” Edward Teller (1908-2003), físico nuclear estadounidense de origen húngaro

En el CNICE encontramos la página de mecánica básica, que incluye un apartado sobre los retos interactivos. Muy divertido y ejemplificador.

Utilizando las tics en el aprendizaje dela matemática

HERRAMIENTAS DE LA WEB 2.0

Recursos didácticos de la WEB 2.0 Catálogo de recursos para el uso del profesorado, estructurado en una clasificación pedagógica y basada en experiencias de aula, donde poder acceder a las herramientas de libre distribución de la Web 2.0 links en:

Recursos de Matemáticas en Internet

MATEMÁTICO DEL DÍA
¿Quieres saber algo sobre el matemático del día?
Documentos (apuntes, exámenes, trabajos, ...) en formato ZIP. . Software gratuito y shareware.
NIVEL EDUCATIVO
ÁREAS
Recursos clasificados por nivel educativo: infantil, primaria, secundaria, bachillerato, universidad y sin clasificar.
Recursos clasificados por área de la Matemática: álgebra, análisis, , estadística, geometría, matemática general, probabilidad y sin clasificar.
Enlaces perdidos.

Burbujas de ocio -¿DONDE QUEDARÁN LOS BURBUJEROS?-

Según Roberto Igarza y de acuerdo con lo que en su nuevo libro Burbujas de Ocio sostiene y las nuevas formas de consumo cultural generan un rediseño espaciotemporal urbano al que las tecnologías digitales contribuyen y por el que su vez son constantemente regeneradas.Los tiempos que manejamos ya no son los mismos de antes; la mayoría ya no hace un impass a la tardecita temprana o deja de trabajar sino que lo que se dice que hacemos es disfrutar de ocio intersticial. Pequeños y múlitples períodos de tiempo en los que dejamos nuestras tareas obligatorias para consumir de esas cosas que son las generadas y distribuidas por tecnologías que se adaptan a esta nueva forma de distribución del tiempo : los nuevos medios y dispositivos móviles. Mientras escribo esto miro quién está en el Messenger y chateo un rato, y quizás Lucio me pase algún tema para escuchar. Bien, festejo esto, el trabajo se hace un poco más largo pero no tan agobiante. Pero ¿es esto ocio? ¿Descanso mi mente mientras chateo y se que todavía me queda el resto de la nota por escribir y que para el final del día voy a tener que tener terminada no sólo esta nota sino también el Tp del taller de tesina?, quizás sería mejor terminar esto rápido e irme a tomar unos mates al Parque Independencia. Pienso en los niños; Igarza decía que nunca se consumió y se generó tanto material audiovisual como ahora, que los niños son grandes consumidores de estas nuevas formas de lo cultural y que lo utilizan ya como medio de aprendizaje y obviamente de diversión. En las grandes ciudades, en donde se da este fenómeno de las burbujas con más fuerza, los niños, imagino, tendrán sus burbujas también. Mientras hacen la tarea se levantan un rato y en la compu ponen algún video de Patito Feo, tarea, video, tarea, chatean con su compañerito y luego siguen haciendo la tarea hasta que tienen que ir a taekwondo, en el camino juegan algún jueguito online por el celular y vuelven después de cenar seguir haciendo la tarea que le quedaba y terminar de chatear con su compañerito mientras. Cada vez más, el tiempo de ocio y el productivo se interrelacionan. Y, a su vez, dentro del ocio se conectan otras áreas. Los chicos consumen cada vez más contenido «empaquetado» en diferentes formatos (videos, música, fotos, información digital) y «enriquecido» por sus amigos o compañero. Es una la cultura a la que Igarza llama "cultura hiperurbana": más de 1500 millones de personas viven en 476 ciudades de más de un millón de habitantes… ¡que stress!.
Entonces, si trabajamos tanto y encima estiramos nuestro tiempo de trabajo por mezclarlo con esos pequeños espacios de ocio que constan en seguir sentados frente a la computadora o volver a agarrar el celular pero para hacer algo un poquito más distinto a lo que veníamos haciendo, cada vez descansamos menos. Cada vez tenemos menos distensión real, física, espiritual ¡es el consumo constante¡.¿No hay más tiempo para estar con nosotros mismos sin ninguna pantalla frente a nuestros ojos? ¿Y los chicos?¿si en vez de que consuman burbujas de ocio le insistimos en que terminen la tarea y vayan a hacer burbujas de detergente al balcón? Rescato y acepto esta nueva realidad, creo que los niños deben aprovecharla. Son también nuevas formas de alfabetización y de educación pero creo que es necesario que sigan disfrutando del ocio real, del aire , del sol, del pasto, de las manitos de sus amigos y del NO HACER NADA, que no muy mal no vendría a nosotros también.

'Discomgooglelación' Analizame… Analizate!!!

La adicción a Internet ya tiene nombre científico y es DISCOMGOOGLELACION. El término viene de "discombobulate", una palabra que significa "frustración” que se podría traducir como una frustración ante un deseo no conseguido, sólo que se ha aplicado el nombre de Google, con una pronunciación muy similar. Se dice que es la adicción de una nueva generación (…provocada algunas veces por ciertos profesores de Periodismo Digital que te obligan a conectarte…). Según expertos, la propagación de esta adicción, sobretodo en los más jóvenes, se debe a la proliferación de la banda ancha que “ha creado una cultura de respuestas instantáneas”, además del abaratamiento de los costos de conexión, las mejoras tecnológicas, la llegada masiva de las computadoras personales y la conexión desde cualquier celular, entre otros. Todos estos adelantos, están produciendo un crecimiento exponencial de los usuarios y han provocado que Internet pase de ser solo una herramienta de investigación y trabajo en las Universidades y oficinas públicas, como lo era años atrás, a convertirse en un instrumento imprescindible para el ocio y el negocio… todo un universo de información se encuentra a nuestro alcance con realizar solo un click. Pero Internet es mucho más que un entretenimiento, para algunas personas se convierte en el medio alrededor del cual gira buena parte de sus vidas. Desde el punto de vista de la comunicación permite crear grupos, asociaciones y comunidades virtuales con un objetivo o interés en común que solo es posible en este medio que elimina las distancias geográficas y su utilización es positiva. El problema surge en realidad cuando no podemos conectarnos y comenzamos a sentir los efectos de la ausencia o síndrome de abstinencia. Algunos de los síntomas de la adicción a la web son: aumento de la presión sanguínea, un sentimiento de estrés, una mayor actividad cerebral y, en algunos casos, el no saber qué hacer sin su conexión. Si quieren saber si padecen de Discomgooglelacion pueden realizar el test que esta en esta página: http://www.eutimia.com/tests/iad.htm

La educación y las tics

Didáctica de la matemática

La belleza y la matemática

Enseñar a pensar a través de la resolución de problemas

En el mundo cotidiano, resulta más difícil identificar el problema que resolverloRecurriendo a un ejemplo: un empresario podría detectar a simple vista que los beneficios están disminuyendo pero sin lograr descubrir por qué. Un alumno puede observar que sus calificaciones son más bajas en una asignatura pero sin reconocer qué puede hacer para mejorarlas. Encontrar lo que genera la dificultad es lo que permitirá reconocer el problema.

En el mundo cotidiano, los problemas están mal estructuradosLos teóricos de la resolución de problemas diferencian entre problemas bien y mal estructurados. Los problemas bien estructurados son aquellos cuyos pasos que conducen a la solución se pueden establecer de forma explícita y evidente. Los problemas mal estructurados son aquellos en los cuales es difícil especificar los pasos necesarios para llegar a la solución. Son muy pocos los problemas cotidianos de formato estructurado.
En el mundo cotidiano, la resolución de problemas no presenta de forma clara el tipo de información necesaria que se requiere para abordarlos, ni tampoco estará claro el sitio en el cual deba buscarse la información
En efecto, la vida real es compleja y hallar la información puede ser a menudo un problema en sí mismo.

En el mundo cotidiano, las soluciones a los problemas suelen depender del contextoA diferencia de los problemas que los alumnos están acostumbrados a resolver, los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus potenciales soluciones. En efecto, una característica de las problemáticas que se presentan en la escuela es la descontextualización.

En el mundo cotidiano, los problemas no tiene una única solución... e incluso los criterios que definirían cuál de todas es la mejor solución, no siempre están claros.En la mayor parte de los problemas que aparecen en la vida no existen respuestas unívocamente correctas, y aún en el caso en que esto fuera así, solo sería posible apreciarlo en retrospectiva.

En el mundo cotidiano, los problemas dependen al menos tanto de conocimiento oficial como del extraoficialLa capacidad de adquirir el conocimiento extraoficial no es sino una manifestación de la capacidad para adquirir cualquier otra forma de conocimiento.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas importantes, genera consecuencias significativasLos problemas que se les presentan a los alumnos no suelen tener consecuencia alguna, sin embargo, en la realidad mundana, resolver una problema puede ser la diferencia entre una vida feliz o una vida desdichada. Si las soluciones a los problemas de la vida pudiesen separarse de sus consecuencias, entonces no tendríamos ningún motivo para preocuparnos sobre la forma en que se suele enseñar a resolver problemas.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen resolverse en grupoGeneralmente, las problemáticas de la vida implican para su solución la intervención de varias personas, los grupos de trabajo son la norma más habitual en la mayoría de los ámbitos.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen ser complicados, confusos y persistentesLa solución de un problema no siempre es una solución definitiva, los problemas reales son problemas que pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva. Por ejemplo, los directivos de una empresa pueden apreciar como deben enfrentar una doble problemática: encontrar soluciones y además, convencer a otros de la eficacia de dicha solución.

Falacias que dificultan enseñar a razonar
1. El profesor es el que enseña y el alumno el que aprende
Al enseñar razonamiento crítico, debemos tener en cuenta que es necesario desarrollar una atmósfera que nos permita sentirnos a gusto con la situación. Tampoco deberíamos sentirnos amenazados por ese rol. En realidad, no debería existir mejor método para aprender que enseñar y esto debería ser claro tanto para el docente como para los alumnos.
2. Razonar es sólo una tarea del alumno
Los profesores en vez de esperar que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, deberían evaluar los programas que tienen a su disposición para usar en el aula, del mismo modo que esperan que los alumnos evalúen los problemas que se les presentan en las tareas escolares.
3. Lo más importante es decidirse por el programa adecuado
La elección de un programa implica un complicado conjunto de otras elecciones como puede ser elegir la enseñanza inducida frente a la separada o la basada en procesos frente a la holística. Si profesores y funcionarios tuviera claros los objetivos para poner en práctica un programa en relación a las capacidades de razonamiento, la elección sería más simple, pero el consenso respecto a los objetivos no siempre existe.
4. Lo que verdaderamente importa es la respuesta correcta
No importa en realidad el modo en el que el alumno llegue a la respuesta, por eso el formato típico de los exámenes se basa en el formato de tipo test en el cual se aplica a disciplinas substancialmente diferentes. Resulta difícil equilibrar un proceso orientativo hacia la resolución de problemas centrada en los resultados.
5. La discusión en el aula es un medio para un fín
El razonamiento, surge como un proceso social que se internaliza solo después de haberse sido expresado socialmente.
6. Los principios de la enseñanza magistral pueden aplicarse al razonamiento, de mismo modo que pueden aplicarse a cualquier otra cosa.
7. La finalidad de un curso de razonamiento es ‘enseñar a pensar’.
Los alumnos pueden empezar a razonar pero no porque les hayamos enseñado sino más bien lo que sucede es que se facilitaron exitosamente los medios que propician esta autoeducación.
En el mundo cotidiano, el primer paso y en ocasiones el más difícil antes de resolver un problema, es el reconocimiento de que ese problema existe
Esto implica que los alumnos no sólo necesitan ayuda para resolver los problemas sino también para reconocerlos. Porque en ocasiones, los problemas se ‘inventan’ de manera tal que formar a los alumnos para que resuelvan problemas que fueron diseñados previamente para ellos, no los prepara, en efecto para realizar una selección por sí mismos de los problemas importantes. En conclusión, a los alumnos habría que enseñarles no solo la forma de resolver problemas sino la habilidad de ser capaces para reconocer los problemas que vale la pena resolver.

En el mundo cotidiano, resulta más difícil identificar el problema que resolverlo
Recurriendo a un ejemplo: un empresario podría detectar a simple vista que los beneficios están disminuyendo pero sin lograr descubrir por qué. Un alumno puede observar que sus calificaciones son más bajas en una asignatura pero sin reconocer qué puede hacer para mejorarlas. Encontrar lo que genera la dificultad es lo que permitirá reconocer el problema.

En el mundo cotidiano, los problemas están mal estructurados
Los teóricos de la resolución de problemas diferencian entre problemas bien y mal estructurados. Los problemas bien estructurados son aquellos cuyos pasos que conducen a la solución se pueden establecer de forma explícita y evidente. Los problemas mal estructurados son aquellos en los cuales es difícil especificar los pasos necesarios para llegar a la solución. Son muy pocos los problemas cotidianos de formato estructurado.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas no presenta de forma clara el tipo de información necesaria que se requiere para abordarlos, ni tampoco estará claro el sitio en el cual deba buscarse la información

En efecto, la vida real es compleja y hallar la información puede ser a menudo un problema en sí mismo.

En el mundo cotidiano, las soluciones a los problemas suelen depender del contexto
A diferencia de los problemas que los alumnos están acostumbrados a resolver, los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus potenciales soluciones. En efecto, una característica de las problemáticas que se presentan en la escuela es la descontextualización.

En el mundo cotidiano, los problemas no tiene una única solución... e incluso los criterios que definirían cuál de todas es la mejor solución, no siempre están claros.
En la mayor parte de los problemas que aparecen en la vida no existen respuestas unívocamente correctas, y aún en el caso en que esto fuera así, solo sería posible apreciarlo en retrospectiva.

En el mundo cotidiano, los problemas dependen al menos tanto de conocimiento oficial como del extraoficial
La capacidad de adquirir el conocimiento extraoficial no es sino una manifestación de la capacidad para adquirir cualquier otra forma de conocimiento.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas importantes, genera consecuencias significativas
Los problemas que se les presentan a los alumnos no suelen tener consecuencia alguna, sin embargo, en la realidad mundana, resolver una problema puede ser la diferencia entre una vida feliz o una vida desdichada. Si las soluciones a los problemas de la vida pudiesen separarse de sus consecuencias, entonces no tendríamos ningún motivo para preocuparnos sobre la forma en que se suele enseñar a resolver problemas.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen resolverse en grupo
Generalmente, las problemáticas de la vida implican para su solución la intervención de varias personas, los grupos de trabajo son la norma más habitual en la mayoría de los ámbitos.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen ser complicados, confusos y persistentes
La solución de un problema no siempre es una solución definitiva, los problemas reales son problemas que pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva. Por ejemplo, los directivos de una empresa pueden apreciar como deben enfrentar una doble problemática: encontrar soluciones y además, convencer a otros de la eficacia de dicha solución.

Falacias que dificultan enseñar a razonar

1. El profesor es el que enseña y el alumno el que aprende

Al enseñar razonamiento crítico, debemos tener en cuenta que es necesario desarrollar una atmósfera que nos permita sentirnos a gusto con la situación. Tampoco deberíamos sentirnos amenazados por ese rol. En realidad, no debería existir mejor método para aprender que enseñar y esto debería ser claro tanto para el docente como para los alumnos.

2. Razonar es sólo una tarea del alumno

Los profesores en vez de esperar que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, deberían evaluar los programas que tienen a su disposición para usar en el aula, del mismo modo que esperan que los alumnos evalúen los problemas que se les presentan en las tareas escolares.

3. Lo más importante es decidirse por el programa adecuado

La elección de un programa implica un complicado conjunto de otras elecciones como puede ser elegir la enseñanza inducida frente a la separada o la basada en procesos frente a la holística. Si profesores y funcionarios tuviera claros los objetivos para poner en práctica un programa en relación a las capacidades de razonamiento, la elección sería más simple, pero el consenso respecto a los objetivos no siempre existe.

4. Lo que verdaderamente importa es la respuesta correcta

No importa en realidad el modo en el que el alumno llegue a la respuesta, por eso el formato típico de los exámenes se basa en el formato de tipo test en el cual se aplica a disciplinas substancialmente diferentes. Resulta difícil equilibrar un proceso orientativo hacia la resolución de problemas centrada en los resultados.

5. La discusión en el aula es un medio para un fín

El razonamiento, surge como un proceso social que se internaliza solo después de haberse sido expresado socialmente.

6. Los principios de la enseñanza magistral pueden aplicarse al razonamiento, de mismo modo que pueden aplicarse a cualquier otra cosa.

7. La finalidad de un curso de razonamiento es ‘enseñar a pensar’.

Los alumnos pueden empezar a razonar pero no porque les hayamos enseñado sino más bien lo que sucede es que se facilitaron exitosamente los medios que propician esta autoeducación.

Resolución de problemas en la primaria.

Irma Elena Saiz: Una matemática con sentido

¿Quién es Irma Elena Saiz?
Es licenciada en Matemática, magíster en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa. Dirige la carrera de Licenciatura en Didáctica de la Matemática, es profesora de Didáctica de la Matemática del Profesorado de Matemática de la Universidad Nacional del Nordeste. Es autora, junto con Nelci Noemí Acuña, de los materiales de Matemática de Par@ educ.ar - Aportes para la Enseñanza en el Nivel Medio.
En esta entrevista habla de la enseñanza de las matemáticas en la escuela: de la necesidad de los alumnos de comprender las razones de ser de los contenidos matemáticos escolares.
—¿Cuál es la matemática que habría que enseñar en la educación básica obligatoria?
—Habría que enseñar una matemática con sentido, es decir, una matemática en la que los conocimientos aparezcan como recursos para resolver problemas antes de ser estudiados por sí mismos; que se constituya en un desafío para los alumnos, donde haya lugar para las conjeturas, para la discusión de ideas, la confrontación entre los compañeros.
Con frecuencia, en la escuela se suceden los conocimientos unos tras otros, sin que los alumnos conozcan cuáles son las preguntas a las que responden; se acentúan los aspectos más rutinarios.
Las preguntas que los docentes escuchan permanentemente –¿y esto para qué sirve?, por ejemplo– están mostrando esa necesidad de los alumnos de comprender las razones de ser de los contenidos matemáticos escolares. Ya no aceptan estudiar definiciones y propiedades que luego hay que repetir y aplicar en ejercicios rutinarios, sospechan que la matemática no puede ser solamente eso.
— Justamente en el lanzamiento de Par@ educ.ar, Ud. dijo que uno de los desafíos en la educación es poder generar nuevas prácticas para la enseñanza cuestionándonos qué es lo que ofrecemos a los alumnos, cómo los entusiasmamos y cómo creamos desafíos para que ellos mismos se involucren en la creación del conocimiento. ¿Por qué no se da, cuando se les propone aprender en la escuela, el mismo entusiasmo que los chicos muestran ante los videojuegos o los juegos en red, o internet?
—Hoy día, en relación con la enseñanza, aunque se podría decir que es un fenómeno más general, se parte de que todo debe ser divertido, tiene que tener por objetivo entretener, distraer… En el aula, a veces parece como si los alumnos brindaran a los profesores unos 5 minutos de atención, frecuentemente el primer día de clase, para ser “enganchados” por ellos. Si lo propuesto no fue divertido, entonces rompen una relación que no tuvo posibilidades de establecerse. Pero más grave es que, con frecuencia, son los profesores, quienes creen perdida la batalla de antemano. Se preguntan: ¿cómo competir con la televisión? La respuesta que se dan es: imposible y por lo tanto el aprendizaje se convierte en imposible; y los padres reclaman en el mismo sentido. ¿Sus hijos salen mal en matemática?: los justifican diciendo “No les gusta o no les da la cabeza”.
Sin embargo, la enseñanza tiene que lograr despertar justamente las inquietudes que no provee el medio que rodea a los alumnos; no tiene que tratar de convertirse en un videojuego, no es un espectáculo al que los alumnos asisten como espectadores. Su participación, su actividad, son indispensables. Y en relación con esto quiero señalar que existe otro supuesto falso, y es que a los alumnos no puede interesarles nada que signifique pensar…; eso es totalmente falso. Con mucha frecuencia vemos a alumnos enfrentarse a un problema o una pregunta y considerarla una tarea importante, involucrados en los razonamientos necesarios, discutiendo las propuestas de sus compañeros, defendiendo la propia, cambiándola o rechazándola si los argumentos presentados por otros son válidos. Pero esas preguntas o cuestiones son de cierto tipo, se trata de situaciones de la vida cotidiana o no, pero que pueden imaginar, representársela, para la que tienen recursos para iniciar su resolución, aunque no sepan aún como resolverla completamente. Esto no significa defender la enseñanza de la matemática, tal como se la plantea habitualmente: estamos afirmando que es posible, sin tener que montar un espectáculo para lograr la atención de los alumnos, una enseñanza de la matemática que se convierta en una experiencia viva para los estudiantes.
—¿Qué oportunidades ve en las inquietudes de los chicos respecto de las TIC para aprovechar el aprendizaje de conceptos matemáticos?
—Las nuevas tecnologías están brindando a la enseñanza valiosas herramientas, pero sabemos que las TIC no solucionarán por sí solas todos los problemas educativos. Al contrario, sobreestimarlas puede conducir a que disminuyan los intentos legítimos de integración provechosa. Ni todas las propuestas con medios tecnológicos les resultan interesantes a los alumnos, ni todas permiten aprender matemática en el sentido dado anteriormente. Justamente, la tecnología podría facilitar el trabajo más rutinario de la matemática, para dedicar el tiempo a tareas más complejas e interesantes. A la vez puede constituirse en un “laboratorio de pruebas”.
—Con la introducción de la tecnología se incrementan las formas de representación de los conceptos matemáticos, y a la hora de introducir una tecnología en la escuela aparecen debates en torno al uso. En su momento se discutía si la calculadora sí o no en el aula; luego se pasó a una discusión de sí pero sólo para las funciones más mecánicas y rutinarias; hoy, con la aparición de la calculadora gráfica se renuevan los debates y las investigaciones. ¿Qué nuevas posibilidades ofrece la calculadora gráfica tanto para los docentes como para los alumnos?¿Qué tipo de habilidades y estrategias para resolver problemas se desarrollan en los estudiantes mediante su uso?
—Me parece especialmente interesante el uso de la calculadora gráfica ya que el tratamiento de los gráficos puede ser muy útil para el aprendizaje de funciones.
Y la calculadora podría ser utilizada en distintos momentos, para formular conjeturas por ejemplo, o para confirmar algunas ya elaboradas. Por ejemplo, si se conoce la ecuación de una recta: y = ax + b, se puede solicitar a los alumnos que estudien qué sucede cuando se hace variar los parámetros a y b de la ecuación. No se trata sólo de atribuir ciertos valores a las letras a y b, y graficar, sino de poder establecer alguna relación que permita por ejemplo afirmar que al agrandarse el valor de a, la recta cambia de posición desde a, o que si b es positivo o negativo, sucede tal o cual cosa… Y está claro que esta información no la provee directamente la calculadora. Se trata de un trabajo personal del alumno, que en este caso cuenta con un medio que le permite graficar muchas funciones muy rápidamente. Y por otra parte, utilizarla para confirmar o desechar algunas consideraciones realizadas con ciertos objetos matemáticos, en otros soportes como el papel o pizarrón.
—En el sitio Par@ educ.ar existe un vasto Núcleo teórico sobre Influencia de las TIC en la enseñanza de las matemáticas. Uno de los contenidos se refiere a los resultados de un metaanálisis de más de 600 publicaciones (de los últimos diez años) que han constatado el bajo nivel de integración de las TIC en las clases de matemáticas y la tensión entre las altas expectativas del uso de las TIC para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y la baja integración en las clases. ¿Cómo se ven reflejadas estas tensiones en las aulas de nuestro país? ¿Cuáles son los mayores obstáculos con los que se encuentra un docente a la hora de incorporar las TIC a sus clases?
—Por un lado, está la disponibilidad de recursos tecnológicos, y en esta disponibilidad estoy incluyendo también la existencia de profesores de computación y/o de técnicos a los que los docentes puedan recurrir si algo no funciona, los insumos necesarios (luz, cartuchos de impresora, papel…) y también la seguridad necesaria para el equipamiento. Sabemos de la enorme cantidad de robos que suceden en las escuelas, motivo por el cual algunos docentes preferirían en ciertos casos no disponer de equipamiento si no es posible garantizarles cierta seguridad. Sin embargo, esto no es todo, aunque sea muy importante… La formación de los profesores es fundamental, así como incide –y fuertemente– la relación que los docentes establecen con la tecnología fuera del ámbito escolar. ¿Puede alguien que no consulta internet periódicamente y no utiliza el correo electrónico trasmitir sus posibilidades a los alumnos?
Frecuentemente escuchamos a docentes o alumnos de posgrado que comentan: “Ah, no leí lo que mandaron, porque al cíber voy sólo una vez por semana, y a veces ni eso…”. O: “Justo ese día que podía ir, el cíber estaba repleto… de niños jugando, tal vez…” Y “¿Consultar internet en un cíber? No es imposible pero…”.
El país es enorme, una gran parte de los docentes no tienen computadoras en sus casas; las políticas educativas apoyan los desarrollos armando gabinetes informáticos, dando cursos, pero todavía falta mucho; no creo que sea lo más pertinente cargar únicamente sobre las espaldas de los docentes la ausencia de propuestas en este línea en las aulas: no es que se nieguen a incorporarlas, las condiciones son difíciles.
Como en tantas otras cosas estamos hablando de producción, distribución y acceso tanto a medios tecnológicos como a conocimientos. Está claro que, sin ser la panacea, las TIC tienen un papel de cara al problema de acceso al conocimiento. Las TIC moldean nuestras prácticas. Hoy por hoy hay un conjunto de prácticas significativas en el acceso y en la utilización de conocimientos que sin las TIC no se dan, no son posibles.
Por eso, está plenamente justificado seguir planteando propuestas, mostrando cómo se podrían incorporar al aula, haciendo conocer lo que algunos docentes, aun en condiciones difíciles, han podido realizar. En este sentido resulta muy importante el concurso que planteó educ.ar y la participación de los docentes.

Aventuras, venturas y desventuras de la resolución de problemas en la escuela

Indudablemente las ciencias matemáticas, así como el ejercicio de su enseñanza, siempre han tenido como principal medio y fin los problemas matemáticos.
P. Halmos (1980) no puede ser más elocuente al respecto, cuando afirma que los problemas son “el corazón de la Matemática”.
La resolución de problemas entraña el engranaje de disímiles recursos cognoscitivos por parte del resolutor. Para este último resolver un problema debe servir no sólo de un simple entrenamiento intelectual, sino también de un sano y agradable entretenimiento. ¿Pero acaso sucede así con cualquier problema?
En este trabajo, presentamos algunas sugerencias y ejemplos de cómo utilizar la “resolución de problemas” en nuestras clases, sin caer en extremos perjudiciales al trabajo creativo e independiente en el aula, enfatizando los procedimientos heurísticos de Polya, mejorados con los nuevos resultados en esta dirección.
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter"
George Polya ("Cómo plantear y resolver problemas") .

Seguir leyendo en: http://www.edutecne.utn.edu.ar/napoles-valdes/resolucion-problemas.html

EL MÈTODO CIENTÌFICO

MATEMATICA ATRACTIVA

MATEMÁTICA INTERACTIVA. Consiste en una serie de actividades diseñadas para enseñar conceptos matemáticos, mediante experimentación directa, a estudiantes de los grados 3° a 5° de primaria y de todos los de secundaria. “Conceptos de Números y Operaciones” es el primero de los cuatro módulos que conforman esta herramienta, en la cual venimos trabajado desde hace un año y medio. HERRAMIENTA MATEMÁTICA INTERACTIVA Gracias a la generosidad de la Fundación Shodor y de su gestor y director, Doctor Robert Panoff, Eduteka orgullosamente pone a su disposición la traducción al español del primer módulo del Proyecto MATEMÁTICA INTERACTIVA, que corresponde a “Conceptos de Números y Operaciones”. Este recurso interactivo contiene más de 100 prácticas para matemáticas, de los grados 3° a 5° y de todos los de secundaria, que los estudiantes pueden manipular para mejorar su comprensión de conceptos en esta asignatura. Durante el próximo año publicaremos la traducción de los tres módulos restantes. Lea el Artículo completo en la siguiente dirección http://www.eduteka.org/MatematicaInteractiva.php EL PRINCIPIO DE LA TECNOLOGÍA PARA MATEMÁTICAS ESCOLARES Posición del Consejo de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM) en el que se precisa el punto de vista de este organismo respecto al uso de computadores en la enseñanza de esta materia. Los principios describen y destacan características fundamentales de la educación de calidad en ella. Lea el Artículo completo en la siguiente dirección http://www.eduteka.org/PrincipiosMath.php ARTÍCULO DE INTERÉS LAS SIMULACIONES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Las simulaciones tienen la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imposible de imaginar. El presente documento, en el que se describen algunas de estas, se concentra en la forma de utilizar las simulaciones y en los beneficios tanto didácticos como prácticos que aportan en la comprensión de conceptos de las matemáticas. Lea el Artículo completo en la siguiente dirección http://www.eduteka.org/Manipulables.php ARTÍCULO DE INTERÉS SOBRE LOS HOMBROS DE GIGANTES Traducción del prólogo del libro "Sobre los Hombros de Gigantes", en el que el profesor Lynn Arthur Stern sostiene que, debido a la introducción de los computadores, la naturaleza y la práctica matemáticas se han transformado profundamente y demandan nuevos métodos para enseñarlas.

Seguir leyendo en: http://www.quadernsdigitals.net/index.php?accionMenu=buscador.VisualizaResultadoBuscadorIU.visualiza&seccion=3&noticia_id=1350

ENLACE A EDUCOMUNICATIVA

http://educomunicativa.ning.com/profiles/blogs/foda-video-educativo

ESTE ENLACE PERMITE VER UN ANÁLISIS FODA DEL VIDEO EDUCATIVO QUE REALIZAMOS PARA APROBAR LA CÁTEDRA "LA EDUCACIÓN A TRAVÉS DE LAS TICS. UN ANÁLISIS DESDE LA COMUNICACIÓN".

VIDEO DIDACTICO ACERCA DE LA WEB 2.0

MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS TIC's

AVANCE DE LA TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN

Este video representa cómo la tecnología avanza de forma exponencial.Como docentes no debemos quedarnos atrás y mucho menos estar desinformados.

LA IMPORTANCIA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue do forma inmediata, utilizando los medios adecuados.
George Polya
Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, instarles a que se pregunten ellos mismos.
P. Halmos
La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje.
El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, ...pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. Lo importante no es obtener la solución, sino el camino que lleva hacia ella. La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar.
La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas, no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un instrumento pedagógico de primer orden.
Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento algorítmico.
En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos de tener en cuenta:
a) Existencia de un interés. Lo que significa enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo.
b) La no existencia de un camino inmediato.
c) Tener deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.
En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas.
Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones:
i) Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, "perder el tiempo" investigando...
ii) Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del alumnado.
iii) Es un tipo de conocimiento basado en la experiencia (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo), siendo más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro.
iv) Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión.
v) Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas.
vi) La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer matemáticas no es otra cosa que resolver problemas.
vii) Hay que tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver problemas, es enfrentarse a los problemas

PROBLEMAS PARA RESOLVER:

1) EL PROBLEMA DEL CORREDOR

Un corredor de larga distancia calculó que si hacía 10km/h, llegaría al sitio designado, una hora después del mediodía, mientras que si la velocidad era de 15km/h, llegaría una hora antes del mediodía. ¿A qué velocidad debe correr para llegar al sitio exactamente al mediodía

2) EL RPOBLEMAS DL REPARTO

¿De cuántas formas se pueden distribuir 4 bolas negras, 4 bolas blancas y 4 bolas azules(se supone que las bolas de un mismo color no se pueden distinguir entre sí) en 6 paquetes diferentes , sabiendo que algunos paquetes pueden estar vacíos?

3) EL PROBLEMAS DE LOS COEFICIENTES

Los coeficientes a y b de la ecuación de segundo grado

Se toman aleatoriamente en el intervalo (0,2) ¿ cuál es la probabilidad de que las raíces de esta ecuación sean números reales?

4) EL PROBLEMA DL TRIÁNGULO

Sea ABC un triángulo y sean Q en BA, R en CB de tal forma que: BQ = CR = AC.Sea L una línea paralela a AC y que pasa por R y denotemos por T a la intersección de ésta con CQ. Sea L’ una línea paralela a BC que pase por T y denotemos por S a la intersección de L’ con AC. Probar que (AC)^3 = (AQ)(BC)(CS).

ENTREVISTA CON EL MATEMÁTICO BERNARDO RECAMÁN

Foto: Revista Semana
EDUTEKA entrevistó al reconocido matemático Bernardo Recamán Santos, graduado de la Universidad de Warwick, Inglaterra, y autor de varios libros en esta área.
En la entrevista, comenta el origen de su interés por las matemáticas y las razones por las cuales es importante aprenderlas.
Enfatiza que su enseñanza debe ser dinámica y agradable y da su opinión sobre la utilización de las TIC para lograrlo; por lo cual colaboró amplia y generosamente en el nuevo componente de Matemática Interactiva (Estadística y Probabilidad), que ponemos hoy a su disposición.

EDUTEKA (E): ¿De dónde surgió su interés por las matemáticas?

Bernardo Recamán Santos (BRS): Tuve la suerte de crecer en un ambiente rodeado de personas intelectualmente inquietas, además, de libros, ideas y discusiones. Luego, en el colegio, conté con suficientes profesores, basta uno, que me estimularon, me propusieron buenas lecturas y me plantearon problemas retadores.

E: ¿En su opinión, cuáles son las razones principales por las cuales un ciudadano común y corriente debe aprender matemáticas para desempeñarse adecuadamente en su vida diaria?

BRS: Las mismas por las cuales es indispensable que conozca bien el idioma que se habla a su alrededor, que lo pueda entender y se pueda comunicar con él en forma oral y escrita. La matemática es otro idioma, el de la ciencia, la tecnología, las finanzas, la economía. Es, además, un idioma universal, el mismo en Bolivia que en Myanmar, lo cual facilita mucho las cosas. Creer que uno se puede desenvolver en sociedad sin matemáticas es como creer que lo puede hacer sin saber leer y escribir al menos un idioma... el de los vecinos.

E: Usted es de los que opinan que las matemáticas son divertidas, ¿qué consejo le da a los docentes de Educación Básica y Media para que esto sea una realidad en las aulas?

BRS: Que sean divertidas no quiere decir que se aprendan sin esfuerzo. Significa que no deberían aburrir a nadie, y mucho menos ser causa de tedio. La literatura acerca de las matemáticas recreativas es inmensa. Yo mismo he contribuido a ella (Póngame un problema, Editorial Magisterio, Bogotá, 2006). Hoy todos los que trabajamos en ese campo somos discípulos de Martin Gardner, cuyos libros no deberían faltar en los anaqueles de ningún profesor de matemáticas. Fue él, por ejemplo, el que popularizó el Juego de Vida, una de las actividades más fascinantes del modulo de estadística.

E: En su experiencia de maestro de Educación Básica y Media, ¿qué falta y qué sobra en los currículos de Matemáticas y a qué se le debería dar mayor énfasis?

BRS: Sobra todavía hacer tanto énfasis en lo memorístico y mecánico y falta hacerlo en la comprensión. De nada me sirve saber de memoria la ecuación cuadrática, por ejemplo, y saberla despejar, si no entiendo qué significa y en qué se aplica. Si la olvido, la busco en Internet, pero si no la entiendo, estoy fregado. La ventaja de programas como Matemática_Interactiva es que apuntan a la comprensión, no a la acumulación enciclopédica de información.

E: ¿Qué valor le da usted al uso de Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) en las clases matemáticas?

BRS: Inmenso, con todo y que yo me formé sin ellas, apenas con una regla de cálculo que mis padres me regalaron y que todavía conservo. Es una revolución que apenas comienza, el equivalente de la invención del telescopio para la astronomía o el microscopio para la biología.

E: Esta entrevista acompaña la unidad correspondiente a Estadística del proyecto Matemática Interactiva, en el que usted ha realizado aportes muy importantes. ¿Cómo podrían los docentes de Matemáticas sacarle el mayor provecho a esta nueva unidad?

BRS: Lo primero que deben hacer los maestros es meterse a fondo en los módulos de la unidad y conocerlos al derecho y al revés. Luego sí, invitar a los estudiantes a experimentar con ellos. Con toda seguridad en el proceso tanto docentes como estudiantes se enriquecerán enormemente, como me enriquecí yo revisando el material.



CRÉDITOS:
Entrevista concedida especialmente a EDUTEKA por Bernardo Recamán Santos, profesor de matemáticas graduado en la Universidad de Warwick en Inglaterra. Él ha sido profesor de la materia en varios colegios y universidades de Colombia; además, en el Waterford Kamhlaba United World College de Suazilandia, Africa del Sur. Es autor de Los números, una historia para contar (Taurus, Bogotá, 2002), A jugar con números (Selector, México, 2000), Matemáticas, la ciencia explicada (Intermedio Editores, Bogotá, 2004), Las nueve cifras y el cambiante cero (Gedisa, Barcelona, 2006), El palacio de precisos cristales (Gedisa, Barcelona, 2006) y ¡Póngame un problema! (Cooperativa Editorial Magisterio, Bogotá, 2006). Actualmente es consultor en el área de educación matemática para Corpoeducación y profesor de matemáticas en la Universidad Sergio Arboleda.

Deducciones y Demostraciones

Todos los seres humanos utilizamos las deducciones a diario. Todos sabemos sacar conclusiones a partir de ciertas afirmaciones. En ocasiones nos equivocamos al formular nuestras primeras afirmaciones, pero todos sabemos deducir. Por ejemplo:

Primera afirmación: estamos en época de lluvias.

Segunda afirmación: el cielo está nublado y las nubes son negras.

¿Cuál sería nuestra conclusión casi inmediata?

Nuestra vida cotidiana está llena de estos ejemplos. También hemos escrito demostraciones matemáticas sin ser consciente de ello.

Por ejemplo:

Los números primos según Paenza

La Matemática según Paenza

MATEMATICA EN EL PREESCOLAR

http://www.goear.com/listen/876647b/Addicted-e.-iglesias

Software Libre y Matemática: Escribiendo Matemática

2.1 TeX viene en nuestra ayuda
Al escribir textos de matemática (por ejemplo una tesis, un apunte, un libro o un examen) TeX es un sistema de procesamiento de textos diseñado por Donald Knuth , que Se ha convertido en el standard utilizado por toda la comunidad matemática. En realidad TeX no está limitado a los textos de matemática, y es usado frecuentemente para escribir libros de computación. El proyecto GNU lo emplea como la base de su sistema de documentación TeXinfo. Incluso hay herramientas para escribir música y partidas de ajedrez en TeX.
Una de las ventajas de TeX es su excelente calidad final, que pone al alcance de cualquiera escribir un libro tal y como va a ser enviado a la imprenta, o un artículo tal y como va a aparecer en una revista científica.
TeX se incluye con todas las distribuciones de GNU/Linux más populares, y es por supuesto software libre. De hecho esto último es una de las claves de su éxito. Para usar TeX no hay que pagar ninguna licencia, y además todo el mundo sabe como es el formato de un documento en TeX (no es un formato cerrado como por ejemplo los del Microsoft Word). De hecho como veremos más adelante los documentos en TeX son archivos de texto, que podemos editar con nuestro editor favorito. Además TeX está muy bien documentado.
Al principio TeX puede parecer bastante extraño, y se requiere bastante tiempo para aprender a usarlo. TeX no es un procesador de texto, sino mas bien se parece a un lenguaje de programación. En lugar de ver nuestro documento tal como se verá impreso, debemos crear un archivo con instrucciones sobre como queremos que nuestro documento se vea.
En realidad existen varios dialectos de TeX (o mejor dicho distintos paquetes de macros) tales como plain TeX (TeX sin agregados) , LaTeX (creado por Leslie Lamport), AmsTeX y AmsLaTeX (Americal Mathematical Society), ETeX, etc.En este artículo, a modo de ejemplo, explicaré como se crea un documento en LaTeX (que es el dialecto más usado y en mi opinión el más fácil de usar).
2.2 Utilizando LaTeX
Para que se hagan una idea de como funciona LaTeX veamos paso a paso la creación de un documento sencillo. Para más información, consulten la abundante documentación que viene con el programa.
Para crear un documento de prueba en LaTeX, utilizamos nuestro editor favorito para crear un archivo con extensión .tex (por ejemplo: prueba.tex) que contenga las siguientes instrucciónes
\documentclass {article}
\usepackage [spanish] {babel}
\begin{document}
\title{Un documento de Prueba}
\author{Pablo Luis De N\'apoli}
\maketitle
\section{Introducci\'on}

!`Hola mundo TeX !, para no romper la tradición.
\section{Una fórmula
Y ahora para que vean porque TeX es mejor, una fórmula:
$$ \alpha = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx $$
\end{document}
En este ejemplo se ven alguna de las ventajas del LaTeX:
No necesitamos preocuparnos por detalles tales como qué tipo de letra vamos a usar, de qué tamaño, donde se cortan las hojas, etc. LaTeX hará todo eso por nosotros. La orden \documentclass {article}

indica a LaTeX que clase de documento (en este caso un artículo) queremos escribir. LaTeX ajustará las especificaciones de formato en consecuencia.
Los documentos de LaTeX tienen una estructura clara. Por ejemplo la orden \section{ título }

indica el comienzo de una nueva sección. LaTeX se ocupará de elegir el tipo de letra para el titulo , numerar las secciones, etc.
Es muy fácil insertar fórmulas matemáticas tales como: $$ \alpha = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx $$

Los signos $$ ... $$ indican a LaTeX que es una fórmula y que queremos que la centre. La orden \alpha , es simplemente la letra griega alfa.\int\^{ }
1_0

producirá una integral con extremos 0 y 1. La orden\frac{1}{1+x^2}

producirá una fracción con numerador 1 y denominador 1+x^{2} .
Este lenguaje les puede parecer un poco críptico al principio, pero cuando uno se acostumbra es muy fácil de usar.
Después de haber creado nuestro documento, debemos compilarlo usando el comandolatex prueba.tex
Esto creará un archivo prueba.dvi (dvi significa device independent, es una representación de nuestro documento independiente del dispositivo en el que va a ser impreso). Para ver nuestro documento terminado, podemos utilizar la orden (bajo X-windows)xdvi prueba.dvi
Si queremos imprimir nuesto documento, lo usual es convertirlo primero en un archivo postscript (formato que entienden las impresoras láser) mediante la ordendvips -o prueba.ps prueba.dvi
Ya tenemos nuestro documento listo para imprimir (con lpr) si nuestra impresora es láser. Si este no fuera el caso, puede que tengamos que convertirlo usando el programa ghostscript (gs).
2.3 Lyx o el camino fácil
Las principales desventajas del (La)TeX es que lleva bastante tiempo aprender a usarlo, y que no vemos como quedará nuestro documento mientras lo estamos escribiendo, por lo que es difícil escribir algo en TeX y corregirlo al mismo tiempo.
Pero hay una solución: LyX . Este maravilloso programa nos permite escribir en LaTeX viendo lo que estamos escribiendo al mismo tiempo. LyX ofrece una interface amigable, similar a la de un procesador de textos convencional mostrándonos las fórmulas matemáticas de manera comprensible.
Con LyX es posible escribir documentos en LaTeX, sin tener que aprender LaTeX. Por supuesto que si sabemos LaTeX podemos hacer muchas más cosas (porque LyX permite insertar comandos en LaTeX en nuestros documentos).
LyX nos permite introducir nuestras fórmulas cómodamente utilizando un editor de ecuaciones, que permite introducir los símbolos matemáticos mediante un menu, aunque también podemos introducirlos mediante su nombre en LaTeX.
Yo lo uso a diario para escribir todo tipo de documentos. (De hecho la versión original de este documento está escrita en LyX.) Es por supuesto software libre (bajo licencia GPL , aunque requiere la librería xforms que no es libre).
2.4 Algunos enlaces
A continuación se incluyen algunos enlaces a páginas sobre TeX, o con otros programas relacionados.
Comprehensive TeX Archive : De todo sobre TeX
TeX Users Group Grupo de usuarios de TeX.
Pagina de la American Mathematical Society sobre TeX .En ella se pueden conseguir AmsTeX y AmsLaTeX.
GNU TeXmacs Un procesador de textos cientificos que utiliza las fuentes de TeX y ofrece una interface amigable. Está basado en TeX y en Emacs. Es una posible alternativa a LyX (ya que permite exportar en TeX).
La pagina personal de Donald E. Knuth , el creador de TeX.
Ktexmaker2 : Un editor especialmente designado para archivos fuente de (La)TeX, para el entorno KDE2 (Licencia: GPL)
Latex2html : Un conversor de LaTeX a html.
gBiB Un editor amigable para bibliografías de BibTeX (que es una herramienta para manejar bibliografías en TeX).

¿Enseñar matemática con la computadora?

La siguiente es la primera de una serie de notas acerca de la enseñanza de la matemática con TIC. Cada una de las notas comienza con una pregunta que todos los docentes nos hicimos alguna vez sobre el uso de la tecnología educativa. A partir de esa pregunta se disparan una serir de reflexiones teóricas y didácticas del tema que luego se vincula con una propuesta para el aula.

La cuestión de enseñar matemáticas con computadora se vincula con la pregunta qué significa enseñar matemática, sobre la cual se han dado respuestas. Cada una de estas respuestas se enmarca en un contexto social, cultural y tecnológico en particular.

Brevemente, y a fin de encuadrar la respuesta a este interrogante, podemos decir que se reconocen tres posturas importantes:

• La matemática enseñada desde un enfoque tradicional, en el cual el alumno es concebido como una tabla rasa, con un rol pasivo en el proceso de aprendizaje, frente a un docente que todo lo sabe y que logrará que el alumno aprenda a través de actividades de repetición de ejercicios, memorización de conceptos y mecanización de procedimientos.

• El período de la matemática moderna introduce algunos cambios en la concepción del proceso de enseñanza y aprendizaje; desde esta postura se prioriza el lugar del alumno, sus gustos e intereses pasan a un primer plano y el docente se preocupa por lograr una buena motivación para el aprendizaje. Por otra parte, los aportes de la psicología genética y el desarrollo matemático de la teoría de conjuntos hacen su entrada en las aulas otorgando un nuevo sentido a la pregunta qué significa enseñar matemática.

• Por último, y entre otras posturas epistemológicas actuales, podemos identificar las concepciones que formula la didáctica de la matemática, que parte del concepto de “triángulo didáctico” para concebir cómo han de desarrollarse las relaciones y los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula. La siguiente imagen presenta esquemáticamente las implicancias del concepto.

Ahora bien, no es nuestra intención desarrollar detenidamente cada uno de estos enfoques sino centrarnos en particular en el último de ellos, y justificar, desde sus sustentos, el uso de la computadora en el aula. Veamos entonces…

• El concepto de “transposición didáctica” supone que el docente debe ser capaz de convertir un saber matemático en un saber enseñable- En algunos casos resulta complejo desarrollar con los alumnos determinados conceptos; sin embargo existen software matemáticos que han logrado crear modelos o simuladores que permiten apreciar estos conceptos con el solo movimiento del cursor. El docente cuenta, entonces, con valiosas herramientas que le permiten realizar una transposición didáctica no solo novedosa sino también efectiva.

• Que el alumno se apropie en forma significativa del saber implica que este ha de ser presentado en contextos que le otorguen sentido. La computadora pertenece al entorno de los niños y adolescentes de la actualidad. Una amplia mayoría de la población estudiantil de nuestro país tiene acceso al uso de computadoras, ya sea en sus hogares o bien en cíbers. Nuestros alumnos poseen un interesante abanico de habilidades informáticas que se constituyen en saberes previos sobre los cuales podemos gestar otros nuevos y diferentes durante las clases de matemática.

• También nos interesa que el alumno se apropie de manera constructiva, y en interacción con sus pares, del saber matemático. Esto implica que el docente debe situarlo en una posición en la cual el niño o adolescente deba ensayar, probar, investigar, hipotetizar, confrontar con sus pares, discutir, etcétera. Al igual que otros recursos, tales como el pizarrón, las láminas o la televisión, el uso de la computadora, enmarcado en una propuesta pedagógica actual, puede lograr que el alumno construya su propio saber interactuando con sus compañeros.

• El tipo de propuesta de trabajo con la computadora en la clase de matemática, como con cualquier otro recurso, forma parte del contrato didáctico que regula el vínculo maestro-alumno en relación con el saber matemático que se desea desarrollar. Lo importante es mantener una conducta pedagógica coherente que permita al alumno comprender qué es lo que se espera de él durante el proceso de aprendizaje.

Evidentemente, los lineamientos de la didáctica de la matemática plantean un marco interesante para el desarrollo de propuestas áulicas en las cuales se pueda trabajar con las distintas posibilidades que nos brinda el uso de la computadora. La iniciativa del docente y su potencial para generar propuestas innovadoras son la clave para ello.

Los invitamos a continuar el tema con propuestas para trabaja en el aula. En esta primera nota la propuesta pasa por el uso de recursos de la web para la planificación de clases.

Matemáticas y recursos de la web.