La inserción de las tecnologías ¿puede cambiar las prácticas matemáticas actuales?
La matemática del siglo XX ha recibido el impacto de la introducción de las computadoras y otros tipos de tecnologías, como las calculadoras gráficas, que han cambiado las cuestiones relacionadas con la enseñanza de los contenidos de la matemática -por ejemplo, la modelización-, dado que su gran capacidad y rapidez en el cálculo, y la facilidad que brindan para lograr representaciones gráficas, permiten incursionar aún más en campos como economía, química, física, entre otros, sistematizando gran cantidad de datos para lograr modelos matemáticos que los cuantifiquen y expliquen.
Son muchos los trabajos referentes a la introducción de las tecnologías en la educación, y no todos coinciden en sus opiniones. Nos gustaría compartir las ideas de Michèle Artigue referidas al tema de la inclusión de las TIC:1
Ciertamente estas tecnologías son socialmente y científicamente legítimas, pero a nivel de la escuela, esas legitimidades no son suficientes para asegurar la integración. Pues no se busca que la enseñanza forme alumnos aptos para funcionar matemáticamente con esas herramientas -lo que sería el caso por ejemplo de una formación de carácter profesional-: se busca mucho más. Efectivamente, lo que se espera de esas herramientas esencialmente es que permitan aprender más rápidamente, mejor, de manera más motivante, una matemática cuyos valores son pensados independientemente de esas herramientas. Lo que se necesita entonces es asegurar la legitimidad pedagógica de estas herramientas, y eso es bien distante de asegurar su legitimidad científica o social. Esto, como hemos mostrado, genera un círculo vicioso que enferma la formación en un esquema de militancia y proselitismo, poco adecuado para otorgar herramientas a los docentes que les permitan hacer frente a las dificultades que inevitablemente van a encontrar, que les permitan identificar las necesidades matemáticas y técnicas de las génesis instrumentales y de responderlas eficazmente; poco adecuado también para permitirles la necesaria superación de una visión ingenua de la tecnología como remedio a las dificultades de la enseñanza.
Esto nos lleva a comenzar a pensar el tema de la inclusión de las TIC con suma atención y cuidado, sin creer que son la panacea o la solución a la complejidad e infinidad de problemáticas que conlleva el aprendizaje de la matemática.
Antes de la reforma educativa, y aun después, era frecuente encontrar en los pizarrones de las aulas largas cuentas con el cálculo de la multiplicación de números decimales con varias cifras después de la coma, ejercicios combinados con racionales, o el cálculo de un interés compuesto o un logaritmo. Todas estas tediosas tareas de cálculo han sido reemplazadas, en la gran mayoría de casos, por las calculadoras de bolsillo, pero ellas no sólo sirven como recursos de cálculo sino también para un trabajo diferente en temas complejos, como derivadas o cálculo de parámetros estadísticos, en el caso de las calculadoras gráficas programables, cuyos costos actuales las hacen más accesibles a los estudiantes y otros tipos de usuarios. Actualmente es común que la mayoría de los alumnos dispongan de calculadoras científicas en las clases de matemática.
A diez años de la reforma, no podemos asegurar que en todas las aulas las prescripciones de los documentos oficiales guíen las prácticas docentes, aunque podemos leer -dentro de las síntesis explicativas de los CBC- la siguiente formulación:
El cálculo mental con los distintos conjuntos numéricos debe constituir una parte fundamental y permanente del trabajo en el aula, pues en él se ponen en juego las propiedades de los números y de las operaciones y es el medio adecuado para realizar estimaciones y cálculos aproximados, tan necesarios en la vida cotidiana, contribuyendo al desarrollo del 'sentido del número'.
El trabajo con calculadora o computadora da relevancia a estas dos formas de cálculo en tanto que, si bien por un lado pueden proveer de resultados exactos, estos pueden ser anticipados y evaluados en su significado y pertinencia a la situación planteada a través del cálculo estimativo.
Si bien la calculadora se ha constituido en un elemento habitual en el aula, esto no implica un uso compulsivo de la misma; al docente le corresponde promover o no su utilización de acuerdo al objetivo de su tarea. Por ejemplo, en las clases dedicadas a la construcción y análisis de algoritmos básicos, puede postergarse el uso de la calculadora, en tanto que en las clases de resolución de problemas puede permitirse sin inconvenientes, para liberar tiempos que los alumnos/as podrán dedicar al razonamiento, a la búsqueda de distintos caminos de solución, a la confrontación de estos con los de sus pares y a la resolución de una mayor diversidad de problemas.
Esto plantea a los docentes nuevos retos respecto de su rol. Si aceptan este desafío e incorporan a sus clases las calculadoras de distintos tipos y/ o computadoras, deberán determinar cuáles serán las cuestiones o problemas que propondrán en las clases para que den sentido al conocimiento que están construyendo los alumnos, y cuáles serán las tareas rutinarias a delegar en estas nuevas tecnologías. Cómo usarlas para que permitan establecer un trabajo en la clase más centrado en la búsqueda de soluciones a problemas, en tratar de probar conjeturas, etc., y no en un mero trabajo mecánico de cálculo algorítmico.
El uso generalizado de programas como Derive, Matemática, Cabri, entre otros, exigirá que el alumno entienda la estructura del ejercicio que se le propone, y en función de eso hacer las manipulaciones con el programa para responder a las cuestiones que se le plantean.
Si pensamos en el uso de las calculadoras y las calculadoras gráficas, ¿cómo van a cambiar los contenidos escolares? Seguramente acordaremos que permitirán quizás una relativamente mejor comprensión de las matemáticas. El impacto producido en la educación con la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo con operaciones simples fue muy bajo; sin embargo, la calculadora científica, que apareció aproximadamente en 1972, sí mostró repercusiones: dejó obsoletas a la regla de cálculo (1975) y a las tablas de logaritmos, por lo menos en el nivel medio y/o polimodal. Las programables todavía no tienen tanto impacto, por la dificultad de su difusión masiva y en función de sus costos, pero seguramente determinarán cambios más significativos del currículum.
Con frecuencia, en la actualidad, el aprendizaje de los métodos de resolución de ecuaciones en los primeros cursos de secundaria consiste en aplicar correctamente el método de resolución, y esto generalmente hace perder de vista el objetivo del trabajo.
Las calculadoras gráficas proporcionan métodos muy generales, lógicos e intuitivos para los estudiantes, como puede ser el de aproximaciones sucesivas al punto de corte mediante el uso repetido del zoom, pero también es cierto que tenemos que ser muy cuidadosos y no descuidar ciertas herramientas matemáticas necesarias en estudios posteriores.
Retomamos algunas ideas planteadas por Moreno, Rodríguez Gallegos y Laborde2 sobre el enfoque de la aplicación de las TIC, en especial el Cabri II, en el álgebra: La enseñanza tradicional ha dado importancia durante mucho tiempo al aspecto algebraico. Esto ha producido como resultado una visión limitada de los estudiantes alrededor de este tema.
Partimos de la idea de que los objetos matemáticos son por naturaleza abstractos. Duval (1993) considera que son accesibles sólo por medio de sus representaciones y que su conceptualización pasa por la capacidad de identificar un concepto en diferentes registros. Por lo tanto se necesita un trabajo específico en los estudiantes cuyo objetivo sea la articulación de diferentes registros alrededor de un objeto matemático en particular.
Laborde (1999) afirma: "una parte de la esencia de las matemáticas es la actividad de resolución de problemas, y esta actividad está basada en una interacción entre varios registros y tratamientos en cada registro".
La enseñanza de las ecuaciones en las clases de secundaria suele estar basada en la exposición que el libro de texto y/o el profesor hace del método de resolución de cada uno de los tipos de ecuaciones: lineales, cuadráticas, polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc., seguida de los casos particulares y los ejercicios de práctica o de fijación.
En principio no habría nada que objetar: todas son ecuaciones y cada una es tratada con el método o técnica más apropiado, sin ningún rastro de todas las dificultades que sufrieron al ser elaboradas; sólo se restringen a un conjunto de pasos, y entonces la matemática se transforma en un conjunto de reglas mecánicas y sin sentido.
Los artificios elegidos son los más apropiados para cada caso; han dado suficientes pruebas de ello en su evolución a lo largo de la historia del álgebra, pero son muy distintos unos a otros. La ecuación de primer grado tiene una secuencia de trabajo muy clara, aunque no siempre es la misma: denominadores, paréntesis, agrupar y despejar. En la ecuación cuadrática hay métodos para casos particulares, si es completa o incompleta, aunque siempre podemos aplicar la fórmula de la resolvente para todos. Para una ecuación exponencial se hace necesario recordar las operaciones con potencias, reconocerlas y utilizarlas en el momento adecuado. Para resolver una ecuación trigonométrica, hay que tener en mente una amplia colección de reglas de simplificación que deben ser aplicadas en un orden dado para avanzar en la búsqueda de la solución.
Los métodos algebraicos tienen varios factores en contra: absorben de tal forma la atención del estudiante de matemática, que es muy difícil que llegue a explicar lo que busca cuando está en pleno proceso de resolución de una ecuación, por muy bien que aplique el algoritmo aprendido; aunque haya diferencias en el método, conceptualmente todas las ecuaciones proponen una misma tarea: la búsqueda de uno o varios valores numéricos que hacen que la igualdad se verifique o la comprobación de que esos valores no existen. Esta enseñanza basada básicamente en técnicas contribuye a las dificultades y la falta de interés de los estudiantes por la matemática, que se desaniman por la complejidad de los métodos utilizados.
Si se toma la opción de trabajar en clase los temas de enseñanza con la ayuda de las calculadoras gráficas, habría que replantearse la enseñanza de algunos ejercicios, como los combinados con racionales, la división de decimales con varias cifras decimales, de innumerables gráficas de funciones cuadráticas, cúbicas, trigonométricas, sin otro objetivo que trazarlas punto a punto, sin responder a ningún ejercicio o problema, y pensar cuáles son las competencias matemáticas necesarias, en especial a la búsqueda de relaciones entre los conceptos matemáticos implicados en un problema.
Solamente cuando se tiene claridad sobre el propósito de plantear un problema, puede decidirse claramente qué tecnología (mental, papel y lápiz, electrónica, etc.) se usará.
Por ejemplo, mientras usar papel y lápiz para realizar un algoritmo de división parece ser una buena oportunidad para determinar si las cifras decimales se repetirán o terminarán, utilizar el procedimiento de lápiz y papel para un algoritmo de multiplicación (o hacer uso de la calculadora para ese propósito) probablemente no ofrecerá una percepción muy real de por qué multiplicar por 10 mueve el punto decimal o adiciona un cero al final, ni ayuda a plantear una conjetura sobre los resultados.
Aun para los estudiantes de la EGB 3 que trabajan con simples calculadoras aritméticas, existen actividades que los ayudan a comprender la estructura, los elementos, las operaciones de la aritmética.
Un ejemplo de lo anterior sería realizar algunas tareas en una calculadora que tenga una o varias teclas que no funcionan. Problemas como: "¿Cómo se puede multiplicar 20 x 50 = si la tecla del 0 no está funcionando?", o "Si la tecla que no funciona es la del 3, ¿cómo realizar las siguientes cuentas: 39 x 12= o 330 : 50?", pueden ser interesantes para poner en juego relaciones y definiciones de las operaciones fundamentales, y no el mero uso mecánico de la máquina.
Posiblemente, argumentarán algunos, se debería suprimir el algoritmo de división. Actualmente, fuera de la escuela, la manera de hacer cálculos del tipo 7663,75 ÷ 59,48 es sacar la calculadora, si es que se requiere precisión. Pero deberían incorporarse otros contenidos que permitan realizar el control de los resultados, estimando, por ejemplo, el resultado de la división 7700 ÷ / 60. Entonces el cálculo aproximado y la estimación tomarían los lugares propuestos en los CBC y en la mayoría de los diseños curriculares: "Utilización de la calculadora para la realización de cálculos numéricos decidiendo la conveniencia de su uso, ya sea por la complejidad del cálculo como por la exigencia de exactitud del resultado". Y los alumnos deberían desarrollar -a partir de la propuesta docente- la capacidad de decidir ante un problema si se necesita el cálculo exacto o uno aproximado y determinar si se lo resuelve mentalmente, con lápiz y papel o con calculadora.
1Artigue, Michèle (2004), "Problemas y desafíos en educación matemática: qué nos ofrece hoy la didáctica de la matemática", Université Paris 7 Denis Diderot, presentado para publicación a Educación Matemática, Editorial Santillana.
2Julio Antonio Moreno Gordillo, Ruth Rodríguez Gallegos, Colette Laborde, Ecuaciones Diferenciales en Cabri II Plus, Equipo de trabajo "Informática y Aprendizaje de las Matemáticas" (IAM-MAGI), Grenoble, Francia.
Y en relación con las computadoras...
Retomamos algunas ideas planteadas por Olimpia Figueras en su artículo "Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación"1:
En el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquellos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes. En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos que actualmente introducen en los curícula de la educación matemática el uso de tecnologías de información y comunicación de frontera?
No existe una visión única, universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes. Nuevamente, si retomamos la síntesis explicativa de los CBC, en el eje lenguaje gráfico y algebraico nos refiere lo siguiente:
Aun cuando las calculadoras, graficadoras y computadoras han simplificado el problema de graficar, se pretende que los alumnos/as desarrollen una apreciación global e intuitiva del comportamiento de las funciones y sus propiedades, basadas tanto en las lecturas de sus gráficos como de sus expresiones analíticas. De este modo podrán traducir estas últimas a gráficas y viceversa, como anticipando en cada caso las características ya sea del gráfico o de sus ecuaciones.
La necesidad de tomar decisiones en ese nivel de detalle no debe sorprendernos si pensamos en las calculadoras y las computadoras de la misma forma en que lo hacemos respecto de cualquier elemento auxiliar de nuestras clases de matemática, desde los lápices, compases, transportadores, etcétera. Son los problemas que se plantean, el tipo de trabajo que se deja bajo la responsabilidad de los alumnos, las reflexiones que se proponen lo que hace la diferencia.
Retomando el trabajo de Michèle Artigue ya mencionado, en cuanto a los resultados más recientes de investigaciones sobre los entornos informáticos en la enseñanza de la matemática, dentro de lo que se llama el enfoque instrumental (Guin y Trouche, 2002, y Artigue, 2002), dirigidas a la integración en la educación secundaria en la enseñanza de cálculo formal y programas como el Derive, vemos que:
Como hemos explicado (en Artigue, 2002), las primeras investigaciones llevadas a cabo habían puesto en evidencia un contraste evidente entre el discurso sostenido y publicado de las potencialidades de estos programas para el aprendizaje de las matemáticas, por una parte, y, por otra, la realidad del funcionamiento de las clases observadas, aun cuando se trataba de clases de expertos. Una constante en los discursos había llamado particularmente nuestra atención: la afirmación de que el trabajo en esos ambientes de trabajo liberaba al alumno de las tareas técnicas, favoreciendo un trabajo en matemática de naturaleza conceptual. Esta afirmación era contradictoria con las observaciones realizadas, que mostraban, por una parte, que el trabajo técnico, si bien modificado, no desaparecía tanto, y, por otra parte, que la actividad matemática en estos ambientes obedecía a una economía que no favorecía necesariamente a un trabajo que se podía calificar de conceptual, esto por diversas razones. La diversidad y el costo débil de las acciones posibles, comparados con el costo cognitivo de la interpretación de las retroacciones del software (programa) podían favorecer métodos por ensayo y error poco estructurados; la descomposición de gestos matemáticos en una sucesión de comandos podía esconder su coherencia global; la utilización reducida que los alumnos tenían de estos programas no permitía generalmente una familiaridad suficiente con estas herramientas y, cuando se les había dado una cierta autonomía, diversos problemas técnicos venían a perturbar la actividad matemática de muchos de ellos.
Lo que cambia con la tecnología es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas que utilizan únicamente lápices, biromes, pizarrón y tizas. Si las clases son planificadas y/o utilizan programas con concepciones de un aprendizaje constructivo, las tecnologías pueden incrementar la cantidad de problemas que pueden pensar y resolver los estudiantes. Permitirán que en las clases se logre experimentar sobre búsqueda de regularidades, estructuras y patrones, y comportamientos de los objetos matemáticos, conjeturando sobre ellos e iniciándose en un camino de argumentaciones tendientes a la demostración.
La matemática del siglo XX ha recibido el impacto de la introducción de las computadoras y otros tipos de tecnologías, como las calculadoras gráficas, que han cambiado las cuestiones relacionadas con la enseñanza de los contenidos de la matemática -por ejemplo, la modelización-, dado que su gran capacidad y rapidez en el cálculo, y la facilidad que brindan para lograr representaciones gráficas, permiten incursionar aún más en campos como economía, química, física, entre otros, sistematizando gran cantidad de datos para lograr modelos matemáticos que los cuantifiquen y expliquen.
Son muchos los trabajos referentes a la introducción de las tecnologías en la educación, y no todos coinciden en sus opiniones. Nos gustaría compartir las ideas de Michèle Artigue referidas al tema de la inclusión de las TIC:1
Ciertamente estas tecnologías son socialmente y científicamente legítimas, pero a nivel de la escuela, esas legitimidades no son suficientes para asegurar la integración. Pues no se busca que la enseñanza forme alumnos aptos para funcionar matemáticamente con esas herramientas -lo que sería el caso por ejemplo de una formación de carácter profesional-: se busca mucho más. Efectivamente, lo que se espera de esas herramientas esencialmente es que permitan aprender más rápidamente, mejor, de manera más motivante, una matemática cuyos valores son pensados independientemente de esas herramientas. Lo que se necesita entonces es asegurar la legitimidad pedagógica de estas herramientas, y eso es bien distante de asegurar su legitimidad científica o social. Esto, como hemos mostrado, genera un círculo vicioso que enferma la formación en un esquema de militancia y proselitismo, poco adecuado para otorgar herramientas a los docentes que les permitan hacer frente a las dificultades que inevitablemente van a encontrar, que les permitan identificar las necesidades matemáticas y técnicas de las génesis instrumentales y de responderlas eficazmente; poco adecuado también para permitirles la necesaria superación de una visión ingenua de la tecnología como remedio a las dificultades de la enseñanza.
Esto nos lleva a comenzar a pensar el tema de la inclusión de las TIC con suma atención y cuidado, sin creer que son la panacea o la solución a la complejidad e infinidad de problemáticas que conlleva el aprendizaje de la matemática.
Antes de la reforma educativa, y aun después, era frecuente encontrar en los pizarrones de las aulas largas cuentas con el cálculo de la multiplicación de números decimales con varias cifras después de la coma, ejercicios combinados con racionales, o el cálculo de un interés compuesto o un logaritmo. Todas estas tediosas tareas de cálculo han sido reemplazadas, en la gran mayoría de casos, por las calculadoras de bolsillo, pero ellas no sólo sirven como recursos de cálculo sino también para un trabajo diferente en temas complejos, como derivadas o cálculo de parámetros estadísticos, en el caso de las calculadoras gráficas programables, cuyos costos actuales las hacen más accesibles a los estudiantes y otros tipos de usuarios. Actualmente es común que la mayoría de los alumnos dispongan de calculadoras científicas en las clases de matemática.
A diez años de la reforma, no podemos asegurar que en todas las aulas las prescripciones de los documentos oficiales guíen las prácticas docentes, aunque podemos leer -dentro de las síntesis explicativas de los CBC- la siguiente formulación:
El cálculo mental con los distintos conjuntos numéricos debe constituir una parte fundamental y permanente del trabajo en el aula, pues en él se ponen en juego las propiedades de los números y de las operaciones y es el medio adecuado para realizar estimaciones y cálculos aproximados, tan necesarios en la vida cotidiana, contribuyendo al desarrollo del 'sentido del número'.
El trabajo con calculadora o computadora da relevancia a estas dos formas de cálculo en tanto que, si bien por un lado pueden proveer de resultados exactos, estos pueden ser anticipados y evaluados en su significado y pertinencia a la situación planteada a través del cálculo estimativo.
Si bien la calculadora se ha constituido en un elemento habitual en el aula, esto no implica un uso compulsivo de la misma; al docente le corresponde promover o no su utilización de acuerdo al objetivo de su tarea. Por ejemplo, en las clases dedicadas a la construcción y análisis de algoritmos básicos, puede postergarse el uso de la calculadora, en tanto que en las clases de resolución de problemas puede permitirse sin inconvenientes, para liberar tiempos que los alumnos/as podrán dedicar al razonamiento, a la búsqueda de distintos caminos de solución, a la confrontación de estos con los de sus pares y a la resolución de una mayor diversidad de problemas.
Esto plantea a los docentes nuevos retos respecto de su rol. Si aceptan este desafío e incorporan a sus clases las calculadoras de distintos tipos y/ o computadoras, deberán determinar cuáles serán las cuestiones o problemas que propondrán en las clases para que den sentido al conocimiento que están construyendo los alumnos, y cuáles serán las tareas rutinarias a delegar en estas nuevas tecnologías. Cómo usarlas para que permitan establecer un trabajo en la clase más centrado en la búsqueda de soluciones a problemas, en tratar de probar conjeturas, etc., y no en un mero trabajo mecánico de cálculo algorítmico.
El uso generalizado de programas como Derive, Matemática, Cabri, entre otros, exigirá que el alumno entienda la estructura del ejercicio que se le propone, y en función de eso hacer las manipulaciones con el programa para responder a las cuestiones que se le plantean.
Si pensamos en el uso de las calculadoras y las calculadoras gráficas, ¿cómo van a cambiar los contenidos escolares? Seguramente acordaremos que permitirán quizás una relativamente mejor comprensión de las matemáticas. El impacto producido en la educación con la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo con operaciones simples fue muy bajo; sin embargo, la calculadora científica, que apareció aproximadamente en 1972, sí mostró repercusiones: dejó obsoletas a la regla de cálculo (1975) y a las tablas de logaritmos, por lo menos en el nivel medio y/o polimodal. Las programables todavía no tienen tanto impacto, por la dificultad de su difusión masiva y en función de sus costos, pero seguramente determinarán cambios más significativos del currículum.
Con frecuencia, en la actualidad, el aprendizaje de los métodos de resolución de ecuaciones en los primeros cursos de secundaria consiste en aplicar correctamente el método de resolución, y esto generalmente hace perder de vista el objetivo del trabajo.
Las calculadoras gráficas proporcionan métodos muy generales, lógicos e intuitivos para los estudiantes, como puede ser el de aproximaciones sucesivas al punto de corte mediante el uso repetido del zoom, pero también es cierto que tenemos que ser muy cuidadosos y no descuidar ciertas herramientas matemáticas necesarias en estudios posteriores.
Retomamos algunas ideas planteadas por Moreno, Rodríguez Gallegos y Laborde2 sobre el enfoque de la aplicación de las TIC, en especial el Cabri II, en el álgebra: La enseñanza tradicional ha dado importancia durante mucho tiempo al aspecto algebraico. Esto ha producido como resultado una visión limitada de los estudiantes alrededor de este tema.
Partimos de la idea de que los objetos matemáticos son por naturaleza abstractos. Duval (1993) considera que son accesibles sólo por medio de sus representaciones y que su conceptualización pasa por la capacidad de identificar un concepto en diferentes registros. Por lo tanto se necesita un trabajo específico en los estudiantes cuyo objetivo sea la articulación de diferentes registros alrededor de un objeto matemático en particular.
Laborde (1999) afirma: "una parte de la esencia de las matemáticas es la actividad de resolución de problemas, y esta actividad está basada en una interacción entre varios registros y tratamientos en cada registro".
La enseñanza de las ecuaciones en las clases de secundaria suele estar basada en la exposición que el libro de texto y/o el profesor hace del método de resolución de cada uno de los tipos de ecuaciones: lineales, cuadráticas, polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc., seguida de los casos particulares y los ejercicios de práctica o de fijación.
En principio no habría nada que objetar: todas son ecuaciones y cada una es tratada con el método o técnica más apropiado, sin ningún rastro de todas las dificultades que sufrieron al ser elaboradas; sólo se restringen a un conjunto de pasos, y entonces la matemática se transforma en un conjunto de reglas mecánicas y sin sentido.
Los artificios elegidos son los más apropiados para cada caso; han dado suficientes pruebas de ello en su evolución a lo largo de la historia del álgebra, pero son muy distintos unos a otros. La ecuación de primer grado tiene una secuencia de trabajo muy clara, aunque no siempre es la misma: denominadores, paréntesis, agrupar y despejar. En la ecuación cuadrática hay métodos para casos particulares, si es completa o incompleta, aunque siempre podemos aplicar la fórmula de la resolvente para todos. Para una ecuación exponencial se hace necesario recordar las operaciones con potencias, reconocerlas y utilizarlas en el momento adecuado. Para resolver una ecuación trigonométrica, hay que tener en mente una amplia colección de reglas de simplificación que deben ser aplicadas en un orden dado para avanzar en la búsqueda de la solución.
Los métodos algebraicos tienen varios factores en contra: absorben de tal forma la atención del estudiante de matemática, que es muy difícil que llegue a explicar lo que busca cuando está en pleno proceso de resolución de una ecuación, por muy bien que aplique el algoritmo aprendido; aunque haya diferencias en el método, conceptualmente todas las ecuaciones proponen una misma tarea: la búsqueda de uno o varios valores numéricos que hacen que la igualdad se verifique o la comprobación de que esos valores no existen. Esta enseñanza basada básicamente en técnicas contribuye a las dificultades y la falta de interés de los estudiantes por la matemática, que se desaniman por la complejidad de los métodos utilizados.
Si se toma la opción de trabajar en clase los temas de enseñanza con la ayuda de las calculadoras gráficas, habría que replantearse la enseñanza de algunos ejercicios, como los combinados con racionales, la división de decimales con varias cifras decimales, de innumerables gráficas de funciones cuadráticas, cúbicas, trigonométricas, sin otro objetivo que trazarlas punto a punto, sin responder a ningún ejercicio o problema, y pensar cuáles son las competencias matemáticas necesarias, en especial a la búsqueda de relaciones entre los conceptos matemáticos implicados en un problema.
Solamente cuando se tiene claridad sobre el propósito de plantear un problema, puede decidirse claramente qué tecnología (mental, papel y lápiz, electrónica, etc.) se usará.
Por ejemplo, mientras usar papel y lápiz para realizar un algoritmo de división parece ser una buena oportunidad para determinar si las cifras decimales se repetirán o terminarán, utilizar el procedimiento de lápiz y papel para un algoritmo de multiplicación (o hacer uso de la calculadora para ese propósito) probablemente no ofrecerá una percepción muy real de por qué multiplicar por 10 mueve el punto decimal o adiciona un cero al final, ni ayuda a plantear una conjetura sobre los resultados.
Aun para los estudiantes de la EGB 3 que trabajan con simples calculadoras aritméticas, existen actividades que los ayudan a comprender la estructura, los elementos, las operaciones de la aritmética.
Un ejemplo de lo anterior sería realizar algunas tareas en una calculadora que tenga una o varias teclas que no funcionan. Problemas como: "¿Cómo se puede multiplicar 20 x 50 = si la tecla del 0 no está funcionando?", o "Si la tecla que no funciona es la del 3, ¿cómo realizar las siguientes cuentas: 39 x 12= o 330 : 50?", pueden ser interesantes para poner en juego relaciones y definiciones de las operaciones fundamentales, y no el mero uso mecánico de la máquina.
Posiblemente, argumentarán algunos, se debería suprimir el algoritmo de división. Actualmente, fuera de la escuela, la manera de hacer cálculos del tipo 7663,75 ÷ 59,48 es sacar la calculadora, si es que se requiere precisión. Pero deberían incorporarse otros contenidos que permitan realizar el control de los resultados, estimando, por ejemplo, el resultado de la división 7700 ÷ / 60. Entonces el cálculo aproximado y la estimación tomarían los lugares propuestos en los CBC y en la mayoría de los diseños curriculares: "Utilización de la calculadora para la realización de cálculos numéricos decidiendo la conveniencia de su uso, ya sea por la complejidad del cálculo como por la exigencia de exactitud del resultado". Y los alumnos deberían desarrollar -a partir de la propuesta docente- la capacidad de decidir ante un problema si se necesita el cálculo exacto o uno aproximado y determinar si se lo resuelve mentalmente, con lápiz y papel o con calculadora.
1Artigue, Michèle (2004), "Problemas y desafíos en educación matemática: qué nos ofrece hoy la didáctica de la matemática", Université Paris 7 Denis Diderot, presentado para publicación a Educación Matemática, Editorial Santillana.
2Julio Antonio Moreno Gordillo, Ruth Rodríguez Gallegos, Colette Laborde, Ecuaciones Diferenciales en Cabri II Plus, Equipo de trabajo "Informática y Aprendizaje de las Matemáticas" (IAM-MAGI), Grenoble, Francia.
Y en relación con las computadoras...
Retomamos algunas ideas planteadas por Olimpia Figueras en su artículo "Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación"1:
En el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquellos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes. En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos que actualmente introducen en los curícula de la educación matemática el uso de tecnologías de información y comunicación de frontera?
No existe una visión única, universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes. Nuevamente, si retomamos la síntesis explicativa de los CBC, en el eje lenguaje gráfico y algebraico nos refiere lo siguiente:
Aun cuando las calculadoras, graficadoras y computadoras han simplificado el problema de graficar, se pretende que los alumnos/as desarrollen una apreciación global e intuitiva del comportamiento de las funciones y sus propiedades, basadas tanto en las lecturas de sus gráficos como de sus expresiones analíticas. De este modo podrán traducir estas últimas a gráficas y viceversa, como anticipando en cada caso las características ya sea del gráfico o de sus ecuaciones.
La necesidad de tomar decisiones en ese nivel de detalle no debe sorprendernos si pensamos en las calculadoras y las computadoras de la misma forma en que lo hacemos respecto de cualquier elemento auxiliar de nuestras clases de matemática, desde los lápices, compases, transportadores, etcétera. Son los problemas que se plantean, el tipo de trabajo que se deja bajo la responsabilidad de los alumnos, las reflexiones que se proponen lo que hace la diferencia.
Retomando el trabajo de Michèle Artigue ya mencionado, en cuanto a los resultados más recientes de investigaciones sobre los entornos informáticos en la enseñanza de la matemática, dentro de lo que se llama el enfoque instrumental (Guin y Trouche, 2002, y Artigue, 2002), dirigidas a la integración en la educación secundaria en la enseñanza de cálculo formal y programas como el Derive, vemos que:
Como hemos explicado (en Artigue, 2002), las primeras investigaciones llevadas a cabo habían puesto en evidencia un contraste evidente entre el discurso sostenido y publicado de las potencialidades de estos programas para el aprendizaje de las matemáticas, por una parte, y, por otra, la realidad del funcionamiento de las clases observadas, aun cuando se trataba de clases de expertos. Una constante en los discursos había llamado particularmente nuestra atención: la afirmación de que el trabajo en esos ambientes de trabajo liberaba al alumno de las tareas técnicas, favoreciendo un trabajo en matemática de naturaleza conceptual. Esta afirmación era contradictoria con las observaciones realizadas, que mostraban, por una parte, que el trabajo técnico, si bien modificado, no desaparecía tanto, y, por otra parte, que la actividad matemática en estos ambientes obedecía a una economía que no favorecía necesariamente a un trabajo que se podía calificar de conceptual, esto por diversas razones. La diversidad y el costo débil de las acciones posibles, comparados con el costo cognitivo de la interpretación de las retroacciones del software (programa) podían favorecer métodos por ensayo y error poco estructurados; la descomposición de gestos matemáticos en una sucesión de comandos podía esconder su coherencia global; la utilización reducida que los alumnos tenían de estos programas no permitía generalmente una familiaridad suficiente con estas herramientas y, cuando se les había dado una cierta autonomía, diversos problemas técnicos venían a perturbar la actividad matemática de muchos de ellos.
Lo que cambia con la tecnología es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas que utilizan únicamente lápices, biromes, pizarrón y tizas. Si las clases son planificadas y/o utilizan programas con concepciones de un aprendizaje constructivo, las tecnologías pueden incrementar la cantidad de problemas que pueden pensar y resolver los estudiantes. Permitirán que en las clases se logre experimentar sobre búsqueda de regularidades, estructuras y patrones, y comportamientos de los objetos matemáticos, conjeturando sobre ellos e iniciándose en un camino de argumentaciones tendientes a la demostración.
