La educación y las tics

Didáctica de la matemática

La belleza y la matemática

Enseñar a pensar a través de la resolución de problemas

En el mundo cotidiano, resulta más difícil identificar el problema que resolverloRecurriendo a un ejemplo: un empresario podría detectar a simple vista que los beneficios están disminuyendo pero sin lograr descubrir por qué. Un alumno puede observar que sus calificaciones son más bajas en una asignatura pero sin reconocer qué puede hacer para mejorarlas. Encontrar lo que genera la dificultad es lo que permitirá reconocer el problema.

En el mundo cotidiano, los problemas están mal estructuradosLos teóricos de la resolución de problemas diferencian entre problemas bien y mal estructurados. Los problemas bien estructurados son aquellos cuyos pasos que conducen a la solución se pueden establecer de forma explícita y evidente. Los problemas mal estructurados son aquellos en los cuales es difícil especificar los pasos necesarios para llegar a la solución. Son muy pocos los problemas cotidianos de formato estructurado.
En el mundo cotidiano, la resolución de problemas no presenta de forma clara el tipo de información necesaria que se requiere para abordarlos, ni tampoco estará claro el sitio en el cual deba buscarse la información
En efecto, la vida real es compleja y hallar la información puede ser a menudo un problema en sí mismo.

En el mundo cotidiano, las soluciones a los problemas suelen depender del contextoA diferencia de los problemas que los alumnos están acostumbrados a resolver, los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus potenciales soluciones. En efecto, una característica de las problemáticas que se presentan en la escuela es la descontextualización.

En el mundo cotidiano, los problemas no tiene una única solución... e incluso los criterios que definirían cuál de todas es la mejor solución, no siempre están claros.En la mayor parte de los problemas que aparecen en la vida no existen respuestas unívocamente correctas, y aún en el caso en que esto fuera así, solo sería posible apreciarlo en retrospectiva.

En el mundo cotidiano, los problemas dependen al menos tanto de conocimiento oficial como del extraoficialLa capacidad de adquirir el conocimiento extraoficial no es sino una manifestación de la capacidad para adquirir cualquier otra forma de conocimiento.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas importantes, genera consecuencias significativasLos problemas que se les presentan a los alumnos no suelen tener consecuencia alguna, sin embargo, en la realidad mundana, resolver una problema puede ser la diferencia entre una vida feliz o una vida desdichada. Si las soluciones a los problemas de la vida pudiesen separarse de sus consecuencias, entonces no tendríamos ningún motivo para preocuparnos sobre la forma en que se suele enseñar a resolver problemas.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen resolverse en grupoGeneralmente, las problemáticas de la vida implican para su solución la intervención de varias personas, los grupos de trabajo son la norma más habitual en la mayoría de los ámbitos.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen ser complicados, confusos y persistentesLa solución de un problema no siempre es una solución definitiva, los problemas reales son problemas que pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva. Por ejemplo, los directivos de una empresa pueden apreciar como deben enfrentar una doble problemática: encontrar soluciones y además, convencer a otros de la eficacia de dicha solución.

Falacias que dificultan enseñar a razonar
1. El profesor es el que enseña y el alumno el que aprende
Al enseñar razonamiento crítico, debemos tener en cuenta que es necesario desarrollar una atmósfera que nos permita sentirnos a gusto con la situación. Tampoco deberíamos sentirnos amenazados por ese rol. En realidad, no debería existir mejor método para aprender que enseñar y esto debería ser claro tanto para el docente como para los alumnos.
2. Razonar es sólo una tarea del alumno
Los profesores en vez de esperar que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, deberían evaluar los programas que tienen a su disposición para usar en el aula, del mismo modo que esperan que los alumnos evalúen los problemas que se les presentan en las tareas escolares.
3. Lo más importante es decidirse por el programa adecuado
La elección de un programa implica un complicado conjunto de otras elecciones como puede ser elegir la enseñanza inducida frente a la separada o la basada en procesos frente a la holística. Si profesores y funcionarios tuviera claros los objetivos para poner en práctica un programa en relación a las capacidades de razonamiento, la elección sería más simple, pero el consenso respecto a los objetivos no siempre existe.
4. Lo que verdaderamente importa es la respuesta correcta
No importa en realidad el modo en el que el alumno llegue a la respuesta, por eso el formato típico de los exámenes se basa en el formato de tipo test en el cual se aplica a disciplinas substancialmente diferentes. Resulta difícil equilibrar un proceso orientativo hacia la resolución de problemas centrada en los resultados.
5. La discusión en el aula es un medio para un fín
El razonamiento, surge como un proceso social que se internaliza solo después de haberse sido expresado socialmente.
6. Los principios de la enseñanza magistral pueden aplicarse al razonamiento, de mismo modo que pueden aplicarse a cualquier otra cosa.
7. La finalidad de un curso de razonamiento es ‘enseñar a pensar’.
Los alumnos pueden empezar a razonar pero no porque les hayamos enseñado sino más bien lo que sucede es que se facilitaron exitosamente los medios que propician esta autoeducación.
En el mundo cotidiano, el primer paso y en ocasiones el más difícil antes de resolver un problema, es el reconocimiento de que ese problema existe
Esto implica que los alumnos no sólo necesitan ayuda para resolver los problemas sino también para reconocerlos. Porque en ocasiones, los problemas se ‘inventan’ de manera tal que formar a los alumnos para que resuelvan problemas que fueron diseñados previamente para ellos, no los prepara, en efecto para realizar una selección por sí mismos de los problemas importantes. En conclusión, a los alumnos habría que enseñarles no solo la forma de resolver problemas sino la habilidad de ser capaces para reconocer los problemas que vale la pena resolver.

En el mundo cotidiano, resulta más difícil identificar el problema que resolverlo
Recurriendo a un ejemplo: un empresario podría detectar a simple vista que los beneficios están disminuyendo pero sin lograr descubrir por qué. Un alumno puede observar que sus calificaciones son más bajas en una asignatura pero sin reconocer qué puede hacer para mejorarlas. Encontrar lo que genera la dificultad es lo que permitirá reconocer el problema.

En el mundo cotidiano, los problemas están mal estructurados
Los teóricos de la resolución de problemas diferencian entre problemas bien y mal estructurados. Los problemas bien estructurados son aquellos cuyos pasos que conducen a la solución se pueden establecer de forma explícita y evidente. Los problemas mal estructurados son aquellos en los cuales es difícil especificar los pasos necesarios para llegar a la solución. Son muy pocos los problemas cotidianos de formato estructurado.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas no presenta de forma clara el tipo de información necesaria que se requiere para abordarlos, ni tampoco estará claro el sitio en el cual deba buscarse la información

En efecto, la vida real es compleja y hallar la información puede ser a menudo un problema en sí mismo.

En el mundo cotidiano, las soluciones a los problemas suelen depender del contexto
A diferencia de los problemas que los alumnos están acostumbrados a resolver, los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus potenciales soluciones. En efecto, una característica de las problemáticas que se presentan en la escuela es la descontextualización.

En el mundo cotidiano, los problemas no tiene una única solución... e incluso los criterios que definirían cuál de todas es la mejor solución, no siempre están claros.
En la mayor parte de los problemas que aparecen en la vida no existen respuestas unívocamente correctas, y aún en el caso en que esto fuera así, solo sería posible apreciarlo en retrospectiva.

En el mundo cotidiano, los problemas dependen al menos tanto de conocimiento oficial como del extraoficial
La capacidad de adquirir el conocimiento extraoficial no es sino una manifestación de la capacidad para adquirir cualquier otra forma de conocimiento.

En el mundo cotidiano, la resolución de problemas importantes, genera consecuencias significativas
Los problemas que se les presentan a los alumnos no suelen tener consecuencia alguna, sin embargo, en la realidad mundana, resolver una problema puede ser la diferencia entre una vida feliz o una vida desdichada. Si las soluciones a los problemas de la vida pudiesen separarse de sus consecuencias, entonces no tendríamos ningún motivo para preocuparnos sobre la forma en que se suele enseñar a resolver problemas.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen resolverse en grupo
Generalmente, las problemáticas de la vida implican para su solución la intervención de varias personas, los grupos de trabajo son la norma más habitual en la mayoría de los ámbitos.

En el mundo cotidiano, los problemas suelen ser complicados, confusos y persistentes
La solución de un problema no siempre es una solución definitiva, los problemas reales son problemas que pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva. Por ejemplo, los directivos de una empresa pueden apreciar como deben enfrentar una doble problemática: encontrar soluciones y además, convencer a otros de la eficacia de dicha solución.

Falacias que dificultan enseñar a razonar

1. El profesor es el que enseña y el alumno el que aprende

Al enseñar razonamiento crítico, debemos tener en cuenta que es necesario desarrollar una atmósfera que nos permita sentirnos a gusto con la situación. Tampoco deberíamos sentirnos amenazados por ese rol. En realidad, no debería existir mejor método para aprender que enseñar y esto debería ser claro tanto para el docente como para los alumnos.

2. Razonar es sólo una tarea del alumno

Los profesores en vez de esperar que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, deberían evaluar los programas que tienen a su disposición para usar en el aula, del mismo modo que esperan que los alumnos evalúen los problemas que se les presentan en las tareas escolares.

3. Lo más importante es decidirse por el programa adecuado

La elección de un programa implica un complicado conjunto de otras elecciones como puede ser elegir la enseñanza inducida frente a la separada o la basada en procesos frente a la holística. Si profesores y funcionarios tuviera claros los objetivos para poner en práctica un programa en relación a las capacidades de razonamiento, la elección sería más simple, pero el consenso respecto a los objetivos no siempre existe.

4. Lo que verdaderamente importa es la respuesta correcta

No importa en realidad el modo en el que el alumno llegue a la respuesta, por eso el formato típico de los exámenes se basa en el formato de tipo test en el cual se aplica a disciplinas substancialmente diferentes. Resulta difícil equilibrar un proceso orientativo hacia la resolución de problemas centrada en los resultados.

5. La discusión en el aula es un medio para un fín

El razonamiento, surge como un proceso social que se internaliza solo después de haberse sido expresado socialmente.

6. Los principios de la enseñanza magistral pueden aplicarse al razonamiento, de mismo modo que pueden aplicarse a cualquier otra cosa.

7. La finalidad de un curso de razonamiento es ‘enseñar a pensar’.

Los alumnos pueden empezar a razonar pero no porque les hayamos enseñado sino más bien lo que sucede es que se facilitaron exitosamente los medios que propician esta autoeducación.

Resolución de problemas en la primaria.

Irma Elena Saiz: Una matemática con sentido

¿Quién es Irma Elena Saiz?
Es licenciada en Matemática, magíster en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa. Dirige la carrera de Licenciatura en Didáctica de la Matemática, es profesora de Didáctica de la Matemática del Profesorado de Matemática de la Universidad Nacional del Nordeste. Es autora, junto con Nelci Noemí Acuña, de los materiales de Matemática de Par@ educ.ar - Aportes para la Enseñanza en el Nivel Medio.
En esta entrevista habla de la enseñanza de las matemáticas en la escuela: de la necesidad de los alumnos de comprender las razones de ser de los contenidos matemáticos escolares.
—¿Cuál es la matemática que habría que enseñar en la educación básica obligatoria?
—Habría que enseñar una matemática con sentido, es decir, una matemática en la que los conocimientos aparezcan como recursos para resolver problemas antes de ser estudiados por sí mismos; que se constituya en un desafío para los alumnos, donde haya lugar para las conjeturas, para la discusión de ideas, la confrontación entre los compañeros.
Con frecuencia, en la escuela se suceden los conocimientos unos tras otros, sin que los alumnos conozcan cuáles son las preguntas a las que responden; se acentúan los aspectos más rutinarios.
Las preguntas que los docentes escuchan permanentemente –¿y esto para qué sirve?, por ejemplo– están mostrando esa necesidad de los alumnos de comprender las razones de ser de los contenidos matemáticos escolares. Ya no aceptan estudiar definiciones y propiedades que luego hay que repetir y aplicar en ejercicios rutinarios, sospechan que la matemática no puede ser solamente eso.
— Justamente en el lanzamiento de Par@ educ.ar, Ud. dijo que uno de los desafíos en la educación es poder generar nuevas prácticas para la enseñanza cuestionándonos qué es lo que ofrecemos a los alumnos, cómo los entusiasmamos y cómo creamos desafíos para que ellos mismos se involucren en la creación del conocimiento. ¿Por qué no se da, cuando se les propone aprender en la escuela, el mismo entusiasmo que los chicos muestran ante los videojuegos o los juegos en red, o internet?
—Hoy día, en relación con la enseñanza, aunque se podría decir que es un fenómeno más general, se parte de que todo debe ser divertido, tiene que tener por objetivo entretener, distraer… En el aula, a veces parece como si los alumnos brindaran a los profesores unos 5 minutos de atención, frecuentemente el primer día de clase, para ser “enganchados” por ellos. Si lo propuesto no fue divertido, entonces rompen una relación que no tuvo posibilidades de establecerse. Pero más grave es que, con frecuencia, son los profesores, quienes creen perdida la batalla de antemano. Se preguntan: ¿cómo competir con la televisión? La respuesta que se dan es: imposible y por lo tanto el aprendizaje se convierte en imposible; y los padres reclaman en el mismo sentido. ¿Sus hijos salen mal en matemática?: los justifican diciendo “No les gusta o no les da la cabeza”.
Sin embargo, la enseñanza tiene que lograr despertar justamente las inquietudes que no provee el medio que rodea a los alumnos; no tiene que tratar de convertirse en un videojuego, no es un espectáculo al que los alumnos asisten como espectadores. Su participación, su actividad, son indispensables. Y en relación con esto quiero señalar que existe otro supuesto falso, y es que a los alumnos no puede interesarles nada que signifique pensar…; eso es totalmente falso. Con mucha frecuencia vemos a alumnos enfrentarse a un problema o una pregunta y considerarla una tarea importante, involucrados en los razonamientos necesarios, discutiendo las propuestas de sus compañeros, defendiendo la propia, cambiándola o rechazándola si los argumentos presentados por otros son válidos. Pero esas preguntas o cuestiones son de cierto tipo, se trata de situaciones de la vida cotidiana o no, pero que pueden imaginar, representársela, para la que tienen recursos para iniciar su resolución, aunque no sepan aún como resolverla completamente. Esto no significa defender la enseñanza de la matemática, tal como se la plantea habitualmente: estamos afirmando que es posible, sin tener que montar un espectáculo para lograr la atención de los alumnos, una enseñanza de la matemática que se convierta en una experiencia viva para los estudiantes.
—¿Qué oportunidades ve en las inquietudes de los chicos respecto de las TIC para aprovechar el aprendizaje de conceptos matemáticos?
—Las nuevas tecnologías están brindando a la enseñanza valiosas herramientas, pero sabemos que las TIC no solucionarán por sí solas todos los problemas educativos. Al contrario, sobreestimarlas puede conducir a que disminuyan los intentos legítimos de integración provechosa. Ni todas las propuestas con medios tecnológicos les resultan interesantes a los alumnos, ni todas permiten aprender matemática en el sentido dado anteriormente. Justamente, la tecnología podría facilitar el trabajo más rutinario de la matemática, para dedicar el tiempo a tareas más complejas e interesantes. A la vez puede constituirse en un “laboratorio de pruebas”.
—Con la introducción de la tecnología se incrementan las formas de representación de los conceptos matemáticos, y a la hora de introducir una tecnología en la escuela aparecen debates en torno al uso. En su momento se discutía si la calculadora sí o no en el aula; luego se pasó a una discusión de sí pero sólo para las funciones más mecánicas y rutinarias; hoy, con la aparición de la calculadora gráfica se renuevan los debates y las investigaciones. ¿Qué nuevas posibilidades ofrece la calculadora gráfica tanto para los docentes como para los alumnos?¿Qué tipo de habilidades y estrategias para resolver problemas se desarrollan en los estudiantes mediante su uso?
—Me parece especialmente interesante el uso de la calculadora gráfica ya que el tratamiento de los gráficos puede ser muy útil para el aprendizaje de funciones.
Y la calculadora podría ser utilizada en distintos momentos, para formular conjeturas por ejemplo, o para confirmar algunas ya elaboradas. Por ejemplo, si se conoce la ecuación de una recta: y = ax + b, se puede solicitar a los alumnos que estudien qué sucede cuando se hace variar los parámetros a y b de la ecuación. No se trata sólo de atribuir ciertos valores a las letras a y b, y graficar, sino de poder establecer alguna relación que permita por ejemplo afirmar que al agrandarse el valor de a, la recta cambia de posición desde a, o que si b es positivo o negativo, sucede tal o cual cosa… Y está claro que esta información no la provee directamente la calculadora. Se trata de un trabajo personal del alumno, que en este caso cuenta con un medio que le permite graficar muchas funciones muy rápidamente. Y por otra parte, utilizarla para confirmar o desechar algunas consideraciones realizadas con ciertos objetos matemáticos, en otros soportes como el papel o pizarrón.
—En el sitio Par@ educ.ar existe un vasto Núcleo teórico sobre Influencia de las TIC en la enseñanza de las matemáticas. Uno de los contenidos se refiere a los resultados de un metaanálisis de más de 600 publicaciones (de los últimos diez años) que han constatado el bajo nivel de integración de las TIC en las clases de matemáticas y la tensión entre las altas expectativas del uso de las TIC para favorecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y la baja integración en las clases. ¿Cómo se ven reflejadas estas tensiones en las aulas de nuestro país? ¿Cuáles son los mayores obstáculos con los que se encuentra un docente a la hora de incorporar las TIC a sus clases?
—Por un lado, está la disponibilidad de recursos tecnológicos, y en esta disponibilidad estoy incluyendo también la existencia de profesores de computación y/o de técnicos a los que los docentes puedan recurrir si algo no funciona, los insumos necesarios (luz, cartuchos de impresora, papel…) y también la seguridad necesaria para el equipamiento. Sabemos de la enorme cantidad de robos que suceden en las escuelas, motivo por el cual algunos docentes preferirían en ciertos casos no disponer de equipamiento si no es posible garantizarles cierta seguridad. Sin embargo, esto no es todo, aunque sea muy importante… La formación de los profesores es fundamental, así como incide –y fuertemente– la relación que los docentes establecen con la tecnología fuera del ámbito escolar. ¿Puede alguien que no consulta internet periódicamente y no utiliza el correo electrónico trasmitir sus posibilidades a los alumnos?
Frecuentemente escuchamos a docentes o alumnos de posgrado que comentan: “Ah, no leí lo que mandaron, porque al cíber voy sólo una vez por semana, y a veces ni eso…”. O: “Justo ese día que podía ir, el cíber estaba repleto… de niños jugando, tal vez…” Y “¿Consultar internet en un cíber? No es imposible pero…”.
El país es enorme, una gran parte de los docentes no tienen computadoras en sus casas; las políticas educativas apoyan los desarrollos armando gabinetes informáticos, dando cursos, pero todavía falta mucho; no creo que sea lo más pertinente cargar únicamente sobre las espaldas de los docentes la ausencia de propuestas en este línea en las aulas: no es que se nieguen a incorporarlas, las condiciones son difíciles.
Como en tantas otras cosas estamos hablando de producción, distribución y acceso tanto a medios tecnológicos como a conocimientos. Está claro que, sin ser la panacea, las TIC tienen un papel de cara al problema de acceso al conocimiento. Las TIC moldean nuestras prácticas. Hoy por hoy hay un conjunto de prácticas significativas en el acceso y en la utilización de conocimientos que sin las TIC no se dan, no son posibles.
Por eso, está plenamente justificado seguir planteando propuestas, mostrando cómo se podrían incorporar al aula, haciendo conocer lo que algunos docentes, aun en condiciones difíciles, han podido realizar. En este sentido resulta muy importante el concurso que planteó educ.ar y la participación de los docentes.

Aventuras, venturas y desventuras de la resolución de problemas en la escuela

Indudablemente las ciencias matemáticas, así como el ejercicio de su enseñanza, siempre han tenido como principal medio y fin los problemas matemáticos.
P. Halmos (1980) no puede ser más elocuente al respecto, cuando afirma que los problemas son “el corazón de la Matemática”.
La resolución de problemas entraña el engranaje de disímiles recursos cognoscitivos por parte del resolutor. Para este último resolver un problema debe servir no sólo de un simple entrenamiento intelectual, sino también de un sano y agradable entretenimiento. ¿Pero acaso sucede así con cualquier problema?
En este trabajo, presentamos algunas sugerencias y ejemplos de cómo utilizar la “resolución de problemas” en nuestras clases, sin caer en extremos perjudiciales al trabajo creativo e independiente en el aula, enfatizando los procedimientos heurísticos de Polya, mejorados con los nuevos resultados en esta dirección.
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter"
George Polya ("Cómo plantear y resolver problemas") .

Seguir leyendo en: http://www.edutecne.utn.edu.ar/napoles-valdes/resolucion-problemas.html